Derivadas

Derivada de la funcion inversa
Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces


Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x


Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x


Derivadas de funciones implícitas
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que larelación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.




Cuando las funcionesson más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:


 Derivadas.

Razón de cambio.
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
El tamaño de una población (peces, ratas,personas, bacterias,…)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumen de un globo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, porlo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que elpunto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de Pcorresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positivaésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitarioen x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

La derivada como pendiente de una curva
Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

 
La pendientede la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.
Definición: La pendiente de una curva
En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula:
 

supuesto que el límite exista. 
Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva mediante la definición de límite seguimos lossiguientes pasos:
 
1) Calcular :

2) Hacer

para obtener

 
 
Ejemplo para discusión: Considera la gráfica de y = 3 - x2.
1) Halla la fórmula de la pendiente de la gráfica.
2) Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1).
3) Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores.
 
Nota: Algunas curvas puede que no tengan tangente en cada...