derivadas

UNIVERSIDAD
TECNOLÓGICA
NACIONAL

T ema

FACULTAD
REGIONAL
CÓRDOBA

Apuntes de
clases

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Derivadas de Funciones multivariables

Prof. Ing.
Miguel Ángel Ramadán

mramadan@cbasicas.frc.utn.edu.ar

Por fav or, si se encuentra algún error (sím bolos, letras, números, etc.) av isar
mediante e -m ail a la dirección del encabezado. Gracias .-

Derivadasparciales
Supongamos una función z  f ( x; y) , continua en todo su dominio (figura
113) y consideremos un punto P( x0 ; y0 )  P(a; b) a partir del cual, mediante un
incremento infinitesimal

x , se llega a un punto Q( x; yo ) , obteniéndose un

incremento de la función z, debido a la variable x, cuya expresión es:

z x  z(Q)  z( P)  fi  fo  f ( xo  x, yo )  f ( xo , yo )leído sobre la curva de intersección con el [y=cte=y o ].

Sabemos, por Anam 1, que la derivada de una función se def ine como el
límite del cociente incremental entre el incremento de la función y el incremento
de la variable, cuando éste tiende a anularse:

df
f
 Lím
dv v 0 v

Por lo tanto, tomando el lí mite del cociente incremental formado entre el
incremento debido a x y elincremento de x, tendremos:

z x
f ( xo  x, yo )  f ( xo , yo ) z
 Lím

x 0 x
x 0
x
x
Lím

que es, por definición de deriv ada, la derivada de la función con respecto a una
de sus variables independientes, la x.
UTN

F a c u l t a d R e g i o n a l C ó r d ob a

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Prof. Ing. Miguel Ángel Ramadán

Observemos:
1.- al pasar del punto P al punto Q, sólo varió lavariable x, manteniéndose
constante la variable y, ya que el trayecto seguido fue a lo largo de un seg mento
de recta en la dirección de las x, no teniendo componente alguna en dirección
de las y.
2.- ello significa que, si bien la función es dependiente de dos variables, ella
cambió por efecto de los cambios de una de dichas variables, la x. Por ello se
dice que el cambio de la función esparcial , pues se debe a una, y sólo una, de
sus variables, y por ello, la derivada obtenida es llamada derivada parcial.
3.- la notación de la derivada parcial utiliza una d griega,  , en vez de la
d latina, para denotar que el cambio, o variación de la función se produce por
efecto de un cambio en una de sus variables, no actuando las restantes.
4.- también se dice
dirección de las

queesta derivada es una derivada de la función en la

x, ya

que

todo

sucede

para

cambios

de

esta variable,

únicamente.
Por ello, la derivada parcial también es llamada derivada direccional.
Y

ahora

podemos

generalizar

que

toda

derivada

es

una

derivada

direccional, si le asignamos a la variable cont ra la cual se deriva, algún
significadogeométrico o posicional.

Del mismo modo, si ahora consideramos la figura 11 4, vemos que si
seguimos a partir del punto P, una dirección en el sentido creciente de las y,
hasta llegar al punto R, manteniendo invariab le la posición x en x0 , leemos en
las intersecciones de los

ejes paralelos a z (que pasan por los puntos P y R)

con la curva intersección entre la superficie de la función yel [x=cte=x o ], sendos
valores de la función ( z(P ) y z(R ) ) que definen el incremento parcial de la función
UTN

F a c u l t a d R e g i o n a l C ó r d ob a

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Prof. Ing. Miguel Ángel Ramadán

z y  z( R)  z( P)  fi  fo  f ( xo ; yo  y)  f ( xo , yo )

con respect o a la variable y:

Con este incremento parcial conformamos el cociente incremental:

z y
y

alque, al tomarle el lí mite, nos define la derivada de la función con respect o a
su variable y, es decir, la derivada direccional en la dirección y, de la función:

Lím

y 0

z y
y

 Lím

y 0

f ( xo ; yo  y)  f ( xo , yo ) z

y
y

Interpretación geométrica
Consideremos nuevamente la fig ura 114, y tomemos en la figura 11 5
la vista correspondiente al plano...