derivadas

UNIVERSIDAD DEL VALLE SEDE TULUÁ
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
ASIGNATURA: CÁLCULO I CÓDIGO: 111050M GRUPO:
Profesor: Efraín Vásquez Millán.
TALLER N◦ 4

1.

Semestre 02 2013

Definición de derivada

1. Hallar la derivada de la función siguiente, utilizando la definición
b. f (x) = 2x2 + x − 1

a. f (x) = 5

c. f (x) =

√

x−4

d. f (x) =

1
x−4

2.Hallar la derivada de la función siguiente, utilizando la definición. Representar la gráfica de cada función y hallar
la ecuación de la recta tangente en el punto dado.

3. Hallar la ecuación de una tangente a la curva y =

(4, 1 )
2

c. f (x) =

1
√
x

1
√ ;
x

d. f (x) =

a. f (x) = x2 + 2x + 1; (−3, 4)
√
b. f (x) = x + 1; (3, 2)

1
x+1 ;

(0, 1)

y paralela a la recta x+ 2y − 6 = 0.

4. Existen dos rectas tangentes a la curva y = 4x − x2 que pasan por el punto (2, 5). Hallar las ecuaciones de tales
rectas y representarlas gráficamente para comprobar el resultado.

2.

Reglas para derivar

5. Derivar las funciones propuestas
a. y = 3

c. y = t2 + 2t − 3

b. f (x) = −2

d. f (x) = 2x3 − x2 + 3x − 1

6. Derivar las funciones y calcular cadaderivada en el punto que se indica.
1
a. f (x) = x ; (1, 1)

b. f (x) =

1
(3x)3 ;

c. y = 3(5 − x2 )2 ; (5, 0)

1
(1, 27 )

2
d. y = 3x(x2 − x ); (2, 18)

7. Hallar f (x), en cada caso.
f. f (x) =

b. f (x) =
c. f (x) =
d. f (x) =

2x2 −3x+1
x
π
(3x)2

3−2x−x2
x2 −1

h. f (x) =

1
√
3 2
x
3

3x−2
2x−3

g. f (x) =

a. f (x) = [(x − 2)(x + 4)]2

√ √
3
x( x+ 3)

i. g(x) = ( x+1 )(2x − 5)
x+2
1

e. f (x) = 5x 2 − 3x 2 − x

2

−1
2

j. g(x) = ( x x−x−3 )(x2 + x + 1)
2 +1

8. ¿En qué puntos, si los hay, tiene y = f (x) recta tangente horizontal?
1

a. f (x) = x4 − 3x2 + 2

x2
(x−1)

b. f (x) =

9. Hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f (x) en el punto que se indica
a. y =

x
x−1 ;
3

(2, 2)(x−1)
(x+1) ;

c. f (x) =

(2, 1 ).
3

b. y = (x − 3x + 1)(x + 2); (1, −3).

3.

Regla de la cadena y derivación implícita

10. Hallar la primera derivada de la función que se indica.
a. y = (2x − 7)3
√
b. 3 9x2 + 4
c. f (t) =
d. g(t) =

e. y =

√ 1√
x+ 3 x
x+2
x2 +x+1
√
2 +4t−7
= − t 2t
2

f. f (x) =

1
(t−2)2

g. s(t)

1
(t2 −2)

h. y = |x − 1|

11. Hallaruna ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f (x) en el punto dado
√
a. f (x) = 3x2 − 2; (3, 5)
√
b. f (x) = x x2 + 5; (2, 6)

3

1
c. f (x) = (x − x ) 2 ; (1, 0)

12. Hallar la segunda derivada de la función
a. f (x) = 2(x2 − 1)3
√
b. f (x) = 2x(x + 2)2
c. f (x) = |x2 − 1|
13. Hallar
a.
b.
c.
d.

dy
dx

d. f (t) =
e. g(x) =

d2 y
dx2

√
3

9x2 + 4por derivación implícita y calcular la derivada en el punto que se indica.

√
x2 + y 2 = 16; (3, 7)
xy = 4; (−4, −1)
x3 − xy + y 2 = 4; (0, −2)
x2 y + y 2 x = −2; (2, −1)

14. Hallar

√
t2 +1
t

e. y 2 =

x2 −9
x2 +9 ;

(3, 0)

f. (x − y 2 )(x + xy) = 4; (2, 1)
g. x3 − 2x2 y + 3xy 2 = 38; (2, 3)

en términos de x e y

a. x2 + xy = 5

c. y 2 = 4x

b. 1 − xy = x − y

d.y 2 = x3

15. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la circunferencia x2 + y 2 = 25 en los puntos:
a. (4, 3)

4.

b. (−3, 4)

Razón de cambio

16. Hallar el cociente de incrementos de cada una de las funciones entre los dos puntos dados. Comparar este cociente
de incrementos con la razón de cambio instantáneo de cada punto.

2

a. f (t) = 2t + 7; (1, 9), (2, 11)
√b. h(t) = t2 − 16; (4, 0), (5, 3)

c. f (t) =

1
t+1 ;

(0, 1), (3, 1 )
4

17. Se lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por y = x − 0· 02x2 .
a. Representar la gráfica de la trayectoria.
b. Hallar la distancia horizontal total que recorre la pelota.
c. ¿Para qué valor de x alcanza la pelota su altura máxima? (Úsese la simetría de la trayectoria.)
d. Hallar la ecuación...