Derivadas

1
0

APLICACIONES
DE LAS DERIVADAS

Página 281
REFLEXIONA Y RESUELVE
Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada
■

Analiza la curva siguiente:

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

f crece
f' > 0

f decrece
f' < 0

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada
■

Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FGsiguientes:

D
A

E

C

B
f convexa

f cóncava

f ' decreciente

f ' creciente

f '' < 0

G
F

f '' > 0

CD 8 f convexa 8 f ' decreciente 8 f" < 0
DE 8 f cóncava 8 f ' creciente 8 f" > 0
EF 8 f convexa 8 f ' decreciente 8 f" < 0
FG 8 f cóncava 8 f ' creciente 8 f" > 0

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

1

■

Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla lassiguientes condiciones:
• La función está definida en [0, 7].
• Solo toma valores positivos.
• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).
• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.
• En el intervalo (2, 4), f '' > 0.
• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.
• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

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0

1

2

3

4

5

6

7

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1. Halla las rectastangentes a la curva:
y=

5x 3 + 7x 2 – 16x
x–2

en los puntos de abscisas 0, 1, 3.
Calculamos la derivada de la función:
2
3
2
3
2
y' = (15x + 14x – 16)(x – 2) – (5x + 7x – 16x) = 10x – 23x – 28x + 32
(x – 2)2
(x – 2)2

Ordenadas de los puntos:
y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150
• Recta tangente en (0, 0): y ' (0) = 8
y = 8x
• Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = –9
y = 4 – 9(x –1) = –9x + 13
• Recta tangente en (3, 150): y ' (3) = 11
y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117

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Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 10

2. Halla las rectas tangentes a la circunferencia:
x 2 + y 2 – 2x + 4y – 24 = 0
en los puntos de abscisa x0 = 3.
Obtención de las ordenadas correspondientes:
32 + y 2 – 2 · 3 + 4y – 24 = 0
9 + y 2 – 6 + 4y – 24 = 0
y 2 + 4y – 21 = 0
y=–4 ± √ 16 + 84
–4 ± √ 100
–4 ± 10
=
=
2
2
2

y = 3 8 Punto (3, 3)
y = –7 8 Punto (3, –7)

Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente:
2x + 2y y' – 2 + 4y' = 0
y' (2y + 4) = 2 – 2x
y' =

2 – 2x
1–x
=
2y + 4
y+2

Así: y' (3, 3) = –

2
2
; y' (3, –7) =
5
5

• Recta tangente en (3, 3): y = 3 –

2
2
21
(x – 3) = – x +
5
5
5

• Rectatangente en (3, –7): y = –7 +

2
2
41
(x – 3) = x –
5
5
5

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1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde crece.

b) Dónde decrece.

y' = 3x 2 – 6x – 9 = 3(x 2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)
a) x < –1 8 y' > 0 8 f es creciente en (–@, –1)
x > 3 8 y' > 0 8 f es creciente en (3, +@)
b) –1 < x < 3 8 y' < 0 8 f es decreciente en (–1, 3)

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2.Comprueba que la función y = x 3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares,
en x = 0 y en x = 6.
Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares; para ello, debes estudiar el signo de la derivada.
Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

3

2
2
3
2
y' = 3x (x – 2) – 2(x – 2)x = x (x – 2) (3(x – 2) – 2x) =
(x – 2)4
(x – 2)4
2
2
= x (3x – 6 – 2x) = x (x – 6)
3
(x – 2)
(x– 2)3

y' = 0 8 x 2 (x – 6) = 0

x=0
x=6

f ' (–0,01) > 0 °
¢ En x = 0 hay un punto de inflexión.
f ' (0,01) > 0 £
f ' (5,99) < 0 °
¢ En x = 6 hay un mínimo relativo.
f ' (6,01) > 0 £
3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función
y = –3x 4 + 4x 3. Mediante una representación adecuada, averigua de qué
tipo es cada uno de ellos.
b) Ídem para y = x 4 + 8x 3+ 22x 2 + 24x + 9.
a) y' = –12x 3 + 12x 2 = 12x 2 (–x + 1)
y' = 0

x = 0 8 Punto (0, 0) °
¢ Dos puntos singulares.
x = 1 8 Punto (1, 1) £

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5],
donde la función es derivable.

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1

Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7.
• En (0, 0) hay un punto de inflexión.
• En (1, 1) hay un máximo relativo.
b) y' = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24 = 4(x +...