DERIVADAS




INTRODUCCIÓN

Concepto de derivada:
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervaloconsiderado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).
O en otras palabras; La derivada de la función f(x)en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Cabe destacar que el concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal quizá el más importante.


Notación
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función ƒ respectoal valor x en varios modos.
Notación de  Leibniz
En la a notación de  Leibniz para la función derivada de  , se escribe:

También puede encontrarse como  ,  o  . Se lee «derivada de  ( o  de) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
Con esta notación, se puede escribir la derivada de ƒ en elpunto α de dos modos diferentes.


Si se puede escribir la derivada como:

Notación de Lagrange

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de  en el punto  , se escribe:
 Para la primera derivada,
 Para la segunda derivada,
 Para la tercera derivada,
 Para la enésima derivada (). (También se pueden usarnúmeros romanos).

Cálculo de la derivada
La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular utilizando fórmulas (reglas) para obtener derivadas de funciones máscomplicadas de otras más simples.










REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Regla 1. Para una constante "a"
Si f(x)= a, su derivada es f '(x)= 0
Ejemplo: Si f(x)= 15 , su derivada es f '(x)= 0

Regla 2. Para la función identidad f(x)= x
Si f(x)= x, su derivada es f ' (x)= 1
Ejemplo: f(x)= x , su derivada es f '(x)= 1

Regla 3. Para una constante "a" por una variable x
Si f(x)=ax , su derivada es f '(x)= a
Ejemplo: si f (x)= 12x, su derivada es f '(x)= 12

Regla 4. Para una variable "x" elevada a una potencia "n"

Si f(x)= x , su derivada es f´(x)=nx

Regla 5. Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
n n-1
Si f(x)= ax , su derivada es f´(x)= anx

Regla 6.Del producto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada dela multiplicación de polinomios,
3 4
Ejemplo: f(x)= (2x+3)(3x-5)
2 4 3 3
f´(x)=(6x )(3x-5) + (2x+3)(12x )

Regla 7.Del cociente
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como
Si "u" y "v" son los polinomios 2
La función f(x)= u/v, Se deriva u´v - uv ´/v
3 4
Ejemplo: f(x)= 2x+3 / 3x-5
2 4 3 3 4 2
f´(x)= (6x )(3x-5) - (2x+3)(12x ) / (3x-5)Regla 8. De la cadena
Esta regla útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado auna potencia
Si "u" es el polinomio
n n-1
La función: f (x) = u, Su derivada f´(x)= n(u) (u´)
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Ejercicios de derivadas

Ejercicios resueltos de derivadas; Propuestos con la solución:










DERIVADAS LOGARITMICAS
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN...