Derivadas

Barcelona, Enero 2012.

DERIVADA
La derivada es una expresión que representa la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente cuando opera un cambio en la variable independiente. La notación dy/dx se emplea para representar la tasa instantánea de cambio de y respecto al que se produce en x. Esta notación se distingue de ∆y/∆x que representa la tasa promedio de cambio. La derivada esuna expresión general de la pendiente de la grafica de una función en cualquier punto x dentro del dominio de la función.
Ejemplo: en una función de la forma y = f(x) la derivada de la función es
∆y∆x = lim∆x→0fx+ ∆x-f(x)∆x
USO E INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA
Para determinar la tasa instantánea de cambio (o, en forma equivalente, la pendiente) en cualquier punto de la gráfica de una función fsustituye el valor de la variable independiente en la expresión correspondiente a dy/dx. La derivada evaluada en x=c, puede detonarse por ∆y∆x x=c, que se lee “la derivada de y respecto a x evaluada en x=c.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Si f(x) = eu(x) donde u es diferenciable, entonces
f’(x) = u’(x) eu(x)
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS
Si f(x) = In u(x) donde u esdiferenciable, entonces
f(x) = u'(x)u (x)

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS
La derivada de una constante
Sea k una constante, entonces ddxk=0
La derivada de una potencia
Sea r un número racional, entonces ddx[xr]=rxr-1
TEOREMAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES
Teorema Derivada de una constante por una función
H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)
Ejemplo:f'(a)
------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
x->a x - a x->a x - a
Nota:
* El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemosla función derivada:
(kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.
Teorema Derivada de la suma
La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
    (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)
Ejemplo:
(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim------------------- = lim -------------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
x->a (x-a) (x-a)
Notas:
* En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.
* El teorema se extiende a más de dos funciones.Ejemplo
(x + Lx)' = x' + (Lx)' = 1 + 1/x
Teorema Derivada del producto
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
    (f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)
Ejemplo
(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
x->a (x-a)

f'(a) g'(a)
(*) g(a) -----^----- -----^-----
-^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a (x-a) (x-a)
(*) Pues g es derivable en a =>(teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).
Notas:
* (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
* Generalización para tres funciones:
(f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) + f(x)g(x).h'(x)
Ejemplo
(x2.sen x)' = 2xsen x + x2cos x
Teorema Derivada del cociente
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de...