Derivadas

Precálculo Quinta edición
Matemáticas para el cálculo

Rectas tangentes y derivadas

JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEMWATSON

Pag. 898-902












4.1.- Concepto de variación y derivada.


Rectas tangentes y derivadas
En esta sección se puede observar cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la recta tangente a una curva o la tasa de cambio instantánea deuna función
[pic]
Problema de la tangente
Una recta tangente es una que sólo toca a una curva. Por ejemplo, en la figura 1 se muestra la parábola [pic] y la recta tangente t que toca a la parábola en el punto [pic]. Se podrá hallar una ecuación de la recta tangente t tan pronto como se conozca su pendiente m. La dificultad es que sólo se conoce el punto P, en t, mientras que para calcular lapendiente se requieren dos puntos. Pero observe que se puede calcular una aproximación a m si se elige un punto cercano [pic] en la parábola (cómo en la figura 2) y se calcula la pendiente [pic] de la secante [pic].
[pic]
Se elige [pic] de modo que [pic]. Entonces
[pic]
Ahora se permite que x se aproxime a 1, de modo que [pic] se aproxima a [pic] a lo largo de la parábola. En la figura semuestra cómo las secantes correspondientes rotan respecto a [pic] y se aproximan a la recta tangente t
[pic]
La pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes
[pic]
Por lo tanto, usando el método de la sección 12.2, se tiene
[pic]
[pic]
Ahora que se sabe que la pendiente de la recta tangente es [pic], se puede usar la forma punto-pendiente de la ecuación de unarecta para encontrar su ecuación
[pic] O [pic]
A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se amplía lo suficientemente la zona del punto, la curva se asemeja a una recta. En la figura 4 se ilustra este procedimiento para la curva [pic]. Mientras más se amplía la zona, más se parece a unarecta la parábola. En otras palabras, la curva se vuelve casi indistinguible de su recta tangente
[pic]
Si se tiene una curva general C con ecuación [pic]se quiere hallar la tangente a C en el punto [pic], entonces se considera un punto cercano [pic], donde [pic], y se calcula la pendiente de la secante [pic]:
[pic]
Entonces se permite que [pic] se aproxime a [pic] a lo largo de la curva [pic]permitiendo que x se aproxime a [pic]. Si [pic] se aproxima a un número m, entonces se define la tangente t como la recta que pasa por P como pendiente m. (Esto equivale a decir que la tangente es la posición limitante de la secante [pic] cuando [pic] se aproxima a [pic]. Véase la figura 5)

[pic]

Definición de una recta tangente
La recta tangente a la curva [pic] en el punto [pic] es larecta que pasa por P con pendiente
[pic]
Siempre que este límite exista

Ejemplo 1 Hallar una recta tangente a una hipérbola

Encuentre una ecuación de la tangente a la hipérbola [pic] en el punto (3, 1)
Solución. Sea [pic]. Entonces la pendiente de la recta tangente en (3, 1) es
[pic]
[pic]
Por lo tanto, una ecuación de la tangente en el punto (3, 1) es
[pic]
Que se simplifica a[pic]




La hipérbola y la tangente se muestran en la figura 6
[pic]

Hay otra expresión para la pendiente de una recta tangente que algunas veces es más fácil usar. Sea [pic]. Entonces [pic], de modo que la pendiente de la secante [pic]es
[pic]
Véase la figura 7 donde se ilustra el caso [pic] y [pic] está a la derecha de [pic]. Sin embargo, si sucede que [pic], [pic] estaría a laizquierda de [pic]
[pic]
Observe que cuando x se aproxima a [pic], [pic] tiende a 0 (porque [pic]) y, por lo tanto, la expresión para la pendiente de la tangente es
[pic]
Ejemplo 2. Hallar la tangente

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la cuerva [pic] en el punto (1, 2)

Solución. Si [pic], entonces la pendiente de la recta tangente donde [pic] es


[pic]
[pic]

Por...