Derivadas

Reglas de derivación (inmediatas)
Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.

Derivada de una constante

[pic]

Derivada de x

[pic]

Derivada de la función lineal

[pic]

Derivada de una potencia

[pic]

Derivada de una raíz cuadrada

[pic]

Derivada de una raíz

[pic]

Ejemplos de derivadas

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Derivadas de sumas, productos y cocientes


Derivada de una suma

[pic]

Derivada de una constante por una función

[pic]

Derivada de un producto

[pic]

Derivada de una constante partida por una función

[pic]

Derivada de un cociente

[pic]

Ejemplos de derivadas con operaciones defunciones

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Derivadas exponenciales


Derivada de la función exponencial

[pic]

Derivada de la función exponencial de base e

[pic]

Ejemplos de derivadas exponenciales

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]

Derivación logarítmica


Derivada de un logaritmo

[pic]
Como [pic], también se puede expresar así:
[pic]

Derivada de un logaritmo neperiano

[pic]

Ejemplos de derivadas logarítmicas

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
[pic]
[pic]
[pic]
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]

Derivadas trigonométricas


Derivada del seno

[pic]

Derivada del coseno

[pic]

Derivada de la tangente

[pic]

Derivada de la cotangente

[pic]

Derivada de la secante

[pic]

Derivada de la cosecante

[pic]

Ejemplos de derivadas trigonométricas

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Derivadas trigonométricas inversas


Derivada del arcoseno

[pic]

Derivada del arcocoseno

[pic]

Derivada del arcotangente

[pic]

Derivada del arcocotangente

[pic]

Derivada del arcosecante

[pic]

Derivada del arcocosecante

[pic]

Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas

[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]

Derivada de la función compuesta


Regla de la cadena

[pic]

Ejemplos de derivadas compuestas

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Derivada de la función inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir [pic]. Entonces
[pic]
En la práctica, para derivar una función y=f(x) a partir de su función inversa, podemos seguir lossiguientes pasos:
 1.  Buscamos la función inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y).
 2.  Hacemos x' = g'(y).
 3.  Usando lo anterior, y'=1/x'.
 4.  Sustituimos x' por g'(y) y operamos.
 5.  Por último sustituimos x por g(y) y habremos acabado.

Ejemplos

 1.  Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x
La función inversa de la dada es:[pic].
[pic][pic]
[pic]
Sabiendo que x = sen y, se tiene:
[pic]
 2.  Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x
[pic]
[pic]

Derivada de la función potencial-exponencial

Estas funciones son del tipo:
[pic]

Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:
[pic]

O bien tomamos logaritmos y derivamos:
.[pic]
.[pic]
.[pic]
.[pic]
.[pic]

Derivar tomando logaritmos:.[pic]
.[pic]
.[pic]
.[pic]

Derivadas sucesivas

i derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]...