Derivadas

Aplicaciones de la derivada.
Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento
Si f es derivable en a:

Decrecimiento
Si f es derivable en a:

Extremos:

Tenemos un máximo en x=a si
-La funciónexiste en ese punto.
-En x=a la función pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mínimo en x=a si
-La función existe en ese punto.
-En x=a la función pasa de ser decreciente acreciente.
Ejemplo1 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar lafunción.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera ylos puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 esdecreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, porejemplo.
f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)
¿Dónde se encuentran los máximos y mínimosde esta función?
Ejemplo2 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de











¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?
Optimización de funcionesPasos para la resolución de problemas de optimización
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, enel caso de que haya más de una variable.
3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.
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