derivadas

D e p a r t a m e n t o d e E c o n o m í a A p l i c a d a ( M a t e m á t i c as )
G r a d o e n F i n a n z a s y C o n t a b i l i d ad
M A T E MÁ T I C A S PA R A LA EC O N O MÍ A Y LA E M PR E S A

L ec c ió n 2
I N TROD UCCI ÓN
Func io nes r ea l es d e va r ia b le r ea l
D er iva d a s d e f unc io nes r ea l e s d e va r ia b le r ea l
Co nc ep t o s Geo m ét r ic o s
1.Definición de función:
La actividad económica ha sido parte integrante de la vida
humana durante miles de años.
La palabra economía viene del griego clásico y significa “gestión
doméstica”
Mercaderes y comerciantes sabían que una cosecha pobre
significaba un aumento del precio del maíz.
Durante muchos siglos los conceptos económicos más básicos
se expresaban con términos sencillos, que requeríanuna
matemática muy rudimentaria.
Pero la ciencia económica dio un giro en el siglo XVIII, y se crea
la necesidad de expresar interrelaciones e ideas de complejidad
creciente; curvas de demanda, problemas de maximización ....
El lenguaje de la economía matemática está lleno de términos
como, funciones de oferta y demanda, producción, consumo etc...
decimos, por ejemplo, la cantidadproducida depende del trabajo,
el producto nacional bruto es función del nivel de inversión….
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¿Pero, qué es una función?
Definición
Una función de una variable real x con dominio D, es una regla
que asigna un único número real a cada número x en D

f :D⊂ R→R
x es la variable independiente o exógena
y = f(x) es la variable dependiente o endógena
Si la regla que define a una función es unafórmula algebraica,
el DOMINIO consta de todos los valores de la variable independiente
para los cuales la fórmula tiene sentido.

f ( x) =

x
x−6

D = R − {6} = (−∞, 6) ∪ (6, ∞)
D = [5, ∞)

f ( x) = x − 5

Dominios “Económicos”
De forma intuitiva, podemos definir una función continua como
aquella que, se puede dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del
papel. Esto significa,matemáticamente, que existe el límite en todos
los puntos del dominio y dicho límite coincide con el valor de la
función en el punto.

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2. Funciones lineales, exponenciales y logarítmicas.
a) Función Lineal (Afín) f(x) = ax + b. Gráficamente son
rectas, las lineales son las que pasan por el origen, eso se traduce
en que b = 0.
Gráficamente

b) Funciones Exponenciales:
La funciónexponencial general de base a > 0, es f(x) = Aax,
siendo A cualquier constante.
La más utilizada es la exponencial en base el número, e, es
decir: f(x) = ex.
Estas Funciones siempre son continuas, y siempre pasan por el
punto (0, A), f(x) = Aax,
f(0) = Aa0 = A. Para saber su
comportamiento en el infinito, calculamos los límites.

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Gráficamente

y = (1/2)x

y = ex

c) FuncionesLogarítmicas:
Ejemplo: Si hacemos un depósito de 1.000 euros en una cuenta de
ahorro a un interés del 8% anual, ¿cuánto tardarán en convertirse en
10.000 euros?
Para resolver este problema debemos resolver una ecuación del
tipo

a x = b . En concreto sería 1.000(1 + 0.08)x = 10.000.

Cuando la incógnita está en el exponente, damos la siguiente
definición:
Definición: Si
base “

a x = b , sellama a “x el logaritmo natural, en

a ” de b” y se escribe x = Log a b

“Loga b” es el número al que hay que elevar “a” para que nos
dé “b”
Si la base es el número “e”, al logaritmo se le denomina
logaritmo neperiano y se le suele denotar por Ln(x)
Las funciones f(x) = Ln(x) o f(x) = Loga x, siempre pasan por el
punto (1, 0) dado que Ln(1) = 0, para que la potencia de un número
sea 1el exponente siempre es cero, e0 = 1, y, a0 = 1
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Gráficamente

La función exponencial y la función logaritmo son inversas, la
una de la otra.
Otras clases
polinómicas, etc...

de

funciones

cuadráticas,

trigonométricas,

3. Derivadas y conceptos geométricos relacionados
El cálculo de derivadas surge en el siglo XVII, para solucionar
algunos problemas: determinar la...