Derivadas

2007-A
UNAC-FIEE

Integrales

Lic. Julio Chicana

ANTIDERIVADAS y LA INTEGRAL DEFINIDA
(ASPECTOS BÁSICOS)
Dada una función F como por ejemplo F(x) = x2 + x - sen(x), mediante las reglas de
1
- cos (x). Ahora estamos interesados
derivación podemos hallar su derivada F' (x) = 2x +
2x

en el proceso inverso, por ejemplo si f (x) = x - 2 cos(x) + 3, ¿qué función F tiene por derivada af? Este proceso de hallar F se llama Antiderivación.

01.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Definición 1. Dada una función f, si F es una función tal que

F' (x) = f (x), x ∈ I
entonces F se llama una antiderivada de f en I. Así, una antiderivada de f es simplemente una
función cuya derivada es f.
Por ejemplo, como la derivada de (x2) es (2x), entonces se dice que F(x) = x2 es una
antiderivadade f(x) = 2x. Note que la antiderivada de f(x) = 2x no es única, dado que
d2
(x + 4 ) = 2x
dx

d2
( x − 100) = 2 x
dx

y

entonces las funciones (x2 + 4) y (x2 - 100) también son antiderivadas de (2x), la razón es que la
derivada de una constante es cero. Por lo expuesto, podemos decir que
x2 + C

(1)

es antiderivada de la función (2x), para cualquier constante C.

Definición2. Sea f una función real y F una antiderivada de f. La expresión ∫f(x)dx de llama
integral indefinida de f y se define por:

∫ f ( x) dx

= F ( x) + C

(2)

En (2), f se llama “función integrando” y “dx” se llama diferencial de “x” e indica la variable
de integración, que en este caso es “x”.

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física

Página 1

Porejemplo, de (1) se sigue que

∫ (2 x)dx
En resumen:

∫ f ( x) dx

= x2 + C

= F ( x) + C

si y solo si

F ' ( x) = f ( x )

Ejemplo 1.
1. Hallar ∫3dx.
Una función que tiene derivada 3 es 3x, por lo que ∫3dx = 3x + C.
2.

Hallar ∫4x3dx.
Derivando (x4) se obtiene 4x3, entonces ∫4x3dx = x4 + C.

3.

Comprobar que ∫cos(x)dx = sen(x) + C. Se observa que

d
( sen( x) + C ) = cos( x).
dx

FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
a)

∫ k dx = k x + C
n
∫ x dx =

b)

x n +1
+ C,
n +1

c)

∫ cos(x)dx = sen(x) + C

d)

∫ sen(x)dx = -cos(x) + C

e)

∫sec2(x)dx = tan(x) + C

f)

∫ x dx = ln( x) + C

g)

∫e

n ≠ −1

1

x

dx = e x + C

Ejemplo 2.
1.

∫ 0.5dx= 0.5x + C.

2.

∫ 4dx = 4x + C.

Física I - Capítulo 1: Elementos de CálculoIntegral para Física

Página 2

3.

2
∫ x dx =

x 2+1
x3
+ C = + C.
2 +1
3

∫

5.

x −1
1
1
dx = ∫ x − 2 dx =
+ C = − + C.
∫ x2
−1
x

6.

∫

02.

x dx = ∫ x1 / 2 dx =

x3/ 2
2
+ C = x 3 / 2 + C.
3/ 2
3

4.

1
dx = ?
x

PROPIEDADES DE INTEGRACION

Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k una constante, entonces se cumplen las
siguientespropiedades:
P1)

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

P2)

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

P3)

∫ dx = x+ C

P4)

∫ k dx= kx + C.

En particular se verifica que.

Example 3.
x2
− 3x + C = x 2 − 3x + C
2

1.

∫(2x - 3)dx = 2∫xdx - ∫3dx = 2

2.

∫(sen(x)+2cos(x))dx = ∫sen(x)dx+2∫cos(x)dx = - cos(x) + 2sen(x) +C.

3.

∫ (5

4.

∫ tan2(x)dx = ∫(sec2(x)-1)dx =∫sec2(x)dx - ∫dx = tan(x) – x + C

x−

1
3x

)dx = 5∫ x dx −

1 −1 / 2
10 3 / 2 2
∫ x dx = 3 x − 3 x + C
3

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física

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∫ sen (ax + b) dx

INTEGRALES DE LA FORMA

y

∫ cos (ax + b) dx , donde a ≠ 0.

1

P5)

∫ sen(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

P6)

∫ cos(ax + b)dx = a sen(ax + b) + C

1

Example 4.1

1.

∫ sen(2 x)dx = − 2 cos(2 x) + C

2.

∫ cos( 2 )dx = 2sen( 2 ) + C

3.

∫ [cos(wt ) − wt + 1]dx = w sen(wt ) − 2 t

4.
5.

03.

x

x

1

w

2

+t +C

(observe que dt está indicando que la

variable de integración es t.)
1
∫ sen(3x − 4) dx = − 3 cos(3x − 4) + C
1 − cos(2kx)
1
1

∫ sen2(kx) dx = ∫ ( 2 )dx = 2  x − 2k sen(2kx) + C



LA...