Derivadas

Ecuación de la recta tangente
Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Recta tangente a una curva en un punto La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábolay = x2 - 5x + 6 paralela a la recta 3x + y -2 =0. Sea el punto de tangencia (a, f(a)) m = −3
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f'(a) = 2a - 5 2a − 5 = −3a = 1 P(1, 2) y − 2= -3 (x − 1)y = -3x + 5

Ecuación de la recta normal
Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Recta normal a una curva en un punto La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).
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Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x 2 + x + 1 paralela a la bisectriz delprimer cuadrante. Sea el punto de tangencia (a, b) m=1 f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0 Punto de tangencia:(0, 1) Recta tangente: y − 1 = x y = x +1 Recta normal: m= 1P(0, 1) y − 1 = −x y = −x + 1

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Crecimiento y decrecimiento
Función estrictamente creciente

Función creciente

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Función estrictamente decreciente

Función decreciente

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Crecimiento Si f es derivable en a:Decrecimiento Si f es derivable en a:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento Crecimiento Si f es derivable en a:

Decrecimiento Si f es derivable en a:

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar lafunción.
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f '(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0. 3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Si f'(x) > 0 es creciente. Si f'(x) < 0es decreciente. Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo. f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0 Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo. f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo. f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

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5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: De crecimiento: (−∞, −1) De decrecimiento: (−1,1) (1, ∞)

Ejemplo de intervalos decrecimiento y decrecimiento

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Extremos relativos o locales
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 1. Si f'(a) = 0. 2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0

Mínimos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2.f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0
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x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos unmínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)

Concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Intervalos de concavidad y...