derivadas

Tarea Corta 6. Regla de la Cadena.
Proposición Si 1 es derivable en B! y 0 derivable en 1ÐB! Ñ entonces 0 ‰ 1 es
derivable en B! y
a0 ‰ 1bw ÐB! Ñ œ

.
a0 Ð1ÐB! ÑÑb œ 0 w Ð1ÐB! ÑÑ1w ÐB! Ñ.
.B

¿Cómoaplicamos esta forma de la Regla de la Cadena para encontrar la derivada de
funciones compuestas? El siguiente Ejemplo muestra como hacerlo.

Ejemplo 1. Encuentre

.
#
.B asen B b.

Solución.ÐClaramente la función 2ÐBÑ œ sen B# es la compuesta de las funciones seno y
1, en donde 1 está definida por 1ÐB) œ B# : (sen ‰ 1)(B) œ sen Ð1ÐBÑÑ œ sen B# œ 2ÐBÑÑ )
Aplicando la la Regla de la Cadena, setiene
.
#
.B asen B b

Ejemplo #. Encuentre

.
œ senw ÐB# Ñ .B
aB# b œ cos B# #B œ #B cos B# Þ

. ˆ
" ‰
.B 0 Ð B Ñ

Solución. ÐClaramente la función 2ÐBÑ œ 0 Ð B" Ñ es la compuesta de las funciones 0 y 1,en donde 1 está definida por 1ÐB) œ B" : (0 ‰ 1)(B) œ 0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð B" Ñ œ 2ÐBÑ ÑÞ
Aplicando la Regla de la Cadena, se tiene
. ˆ
" ‰
.B 0 Ð B Ñ

. ˆ"‰
w "
œ 0 w Ð B" Ñ .B
B œ 0 Ð B ÑÐ 

"
B# Ñ

œÐ"
w "
B# Ñ0 Ð B ÑÞ

¿Qué forma toma la Regla de la Cadena con la notación de Leibniz para las derivadas?
Sea C œ 0 Ð1ÐBÑÑ. Queremos encontrar

.C
.B

œ

.
.B a0 Ð1ÐBÑb.

Hagamos ? œ 1ÐBÑÞ Entonces Cœ 0 Ð?Ñ y ? œ 1ÐBÑÞ
La Regla de la Cadena toma en este caso la forma
.C
.B

œ

.C .?
.? .B

œ 0 w Ð?ÑÑ1w ÐBÑ œ 0 w Ð1ÐBÑÑ1w ÐBÑ.

Ejemplo 3. Encuentre

.
#
.B asen B b.

Solución. Sea C œ sen B# .Hagamos ? œ B# Þ Entonces C œ sen ?ß ? œ B# Þ
Con la notación de Leibniz se tiene

Ejemplo %. Encuentre

.C
.B

œ

.C .?
.? .B

œ cos ? #B œ #B cos B# Þ

. ˆ È ‰
.B 0 Ð BÑ .

Solución. Sea C œ 0 ÐÈBÑÞHagamos ? œ ÈBÞ Entonces C œ 0 Ð?Ñß ? œ ÈBÞ
Con la notación de Leibniz se tiene

.C
.B

œ

.C .?
.? .B

œ 0 w Ð?Ñ #È" B œ

"
0 w ÐÈBÑÞ
#È B

Ejercicios. Encuentre las derivadas de las siguientesfunciones usando la Regla de la
Cadena y también usando la notación de Leibniz para las derivadas.

1. sen (sen BÑ

"
2. sen ( B"
Ñ

3. 0 Ðsen BÑ

4. tg (sen B  cos BÑ

5. tg (B  tg BÑ

6. 0 Ðsec BÑ...