Derivadas

Páginas: 68 (16838 palabras) Publicado: 5 de febrero de 2016
CAPíTULO

11

Diferenciación
(o derivación)

En este punto comienza propiamente el estudio del Cálculo. Las ideas que intervienen
en el Cálculo son muy distintas de las del Álgebra y la Geometría. El poder y la importancia de estas ideas y sus aplicaciones resultarán evidentes en una parte más avanzada
del texto. El objetivo de este capítulo es no sólo explicar qué es lo que se denomina"derivada" de una función, sino también enseñar las técnicas para obtener derivadas
aplicando en forma apropiada ciertas reglas.

_ 11.1 la derivada _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Uno de los principales problemas de los que se ocupa el Cálculo consiste en determinar
la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva. En Geometría suele pensarse en una recta tangente, como la tangente a un círculo,como la recta que toca a
dicha figura exactamente en un punto (Figura 11.1). Por desgracia, esta idea de tangente no es muy útil para otra clase de curvas .
Por ejemplo, en la Figura 11.2 (a) las rectas L 1 Y L 2 , cortan a la curva exactamente en ún punto . Aunque no se pensaría que L 2 es tangente en este punto, es evidente que L 1 sí lo es. En la Figura 11.2(b) se consideraría que L) estangente al punto
P aun cuando L) corta a la curva en otros puntos. De estos ejemplos puede observarse que es necesario eliminar la idea de que una tangente es simplemente una recta que

Rectas tangentes

FIGURA 11.1

420

y

y

(a)

(b)

FIGURA 11 .2

421

11 .1 • Lo derivado
y

Recta secante
----~--------------~ x

FIGURA 11.3

toca a una curva en un solo punto. Para desarrollar una definiciónapropiada de recta
tangente, se utiliza el concepto de límite.
Obsérvese la gráfica de la función y = f(x) de la Figura 11.3. Aquí, P y Q son
dos puntos diferentes sobre la curva. A la recta PQ que pasa por ellos se le denomina
recta secante. Si Q se mueve a lo largo de la curva y se aproxima a P por la derecha,
PQ' , PQ", y sucesivamente, son rectas secantes típicas, como se muestra en la Figura
11.4.Conforme se aproxima Q a P por la izquierda, las rectas son PQ l' PQ2' etcétera. En ambos casos las rectas secantes se aproximan a la misma posición limitante. A
esta posición común de las rectas secantes se le define como la recta tangente de la curva en P . Esta definición parece ser razonable y evita las dificultades que se mencionaron al principio de esta sección.
Una curva no necesariamentetiene una tangente en cada uno de sus puntos. Por
ejemplo, la curva y = Ixl tiene tangente en (O, O) por la siguiente razón. En la Figura
11.5 una recta secante que una 60,0) con un punto cercano a su derecha debe siempre
ser la recta y = x y con un punto cercano a su izquierda es la recta y = -x. Por ello ,
la posición limitante de las rectas secantes que pasan por (O, O) Y los puntos de la curvaque se encuentran del lado derecho de (0, O) es la recta y = x, pero la posición limitante
de las rectas secantes que pasan por (0, O) Y los puntos a su izquierda es la recta y =
-x. Como no existe posición limitante común, no existe tangente.
Ahora que se tiene una definición apropiada de tangente a una curva en un punto, puede definirse la pendiente de una curva en un punto .
y
PO

y

PO'"

y =I xl

PO,

p0 2

-------T------+- x

P0 3---i~~~~~---Posición limitante
(tangente en P)

---------4----------------------------~~x

FIGURA 11.4

FIGURA 11.5

422

11 • DIFERENCIACiÓN

DEFINICiÓN

La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente de su recta tangente en P.

Puesto que la tangente en P es una posición limitante de las rectas secantes PQ,
la pendiente de la tangente es elvalor límite de las pendientes de las rectas secantes,
conforme Q se aproxima a P. Se encontrará una expresión para la pendiente de la curva
y = f(x) en el punto P = (xI' f(x 1» que se muestra en la Figura 11.6. Si Q =
(x 2 ' f(x 2», la pendiente de la recta secante PQ es
mpQ

Si se denomina h a la di ferencia x 2 Aquí, se tiene que h 0, porque si h
En consecuencia,

*

f(xI
(XI

=
X I

=

+ h) + h)...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Derivadas
  • derivadas
  • Derive
  • Derivadas
  • Derivadas
  • DERIVADAS
  • derivadas
  • A La Deriva

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS