Desarrollo de proyecto de matemáticas ii

Objetivo:
Poner en práctica todo lo aprendido a lo largo del curso

Introducción:
A través de este curso conoceremos la importancia del cálculo y sus aplicaciones a problemas reales además de integrar nuevos conocimientos relacionados con las funciones de varias variables y cómo se usan para optimizar los procesos.

Desarrollo de proyecto:
Resuelve los siguientes problemas y justica cadauna de tus respuestas.
La transformada de Laplace de una función f(t) definida para toda t>0, se define como , si la integral impropia existe. La transformada se aplica para resolver ecuaciones diferenciales. Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

Respuestas:
F(s)=∫_0^∞▒e^(-st) f(t)dt
f(t)= t^2
F(s)=∫_0^∞▒〖e^(-st) t^2 〗 dt= 〖lim⁡〗┬(b→∞)⁡∫_0^b▒〖e^(-st) t^2〗 dt
∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗
∫▒e^(-st) t^2 dt
u=t^2 dv=e^(-st) dt
〖 du=2tdt v=∫▒e〗^(-st) dt=-1/s e^(-st)
∫▒e^(-st) t^2 dt=uv-∫▒〖vdu=t^2 〗 (-1/s e^(-st) )- ∫▒〖-1/s〗 e^(-st) (2t)dt =-t^2/s e^(-st)+2/s ∫▒〖e^(-st) tdt〗
∫▒e^(-st) tdt
u=t dv=e^(-st) dt
du=dt v=∫▒e^(-st) dt=-1/s e^(-st)∫▒e^(-st) tdt=uv-∫▒〖vdu=t(-1/s e^(-st) ) 〗-∫▒〖-1/s〗 e^(-st) dt
=-t/s e^(-st)+1/s ∫▒e^(-st) dt
=--t/s e^(-st)+1/s (-1/s) e^(-st)
=-t/s e^(-st)-1/s^2 e^(-st)
∫▒e^(-st) t^2 dt=-t^2/s e^(-st)+2/s [-t/s e^(-st)-1/s^2 e^(-st) ]
=-t^2/s e^(-st)-2t/s^2 e^(-st)-2/s^3 e^(-st)
=e^(-st) (-t^2/s-2t/s^2 -2/s^3 )
F(s)=∫_0^∞▒〖e^(-st) t^2 〗 dt=lim┬(b→∞)⁡∫_0^b▒e^(-st) t^2 dt
=lim┬(b→∞) e^(-st) ├(-t^2/s-2t/s^2 -2/s^3 )]_0^b
=lim┬(b→∞) e^(-sb) (-b^2/s-2b/s^2 -2/s^3 )-[e^0 (-0-0-2/s^3 )]
Porque lim┬(b→∞) b^n/e^b =0
=lim┬(b→∞) (b^2/s-2b/s^2 -2/s^3 )/e^sb +2/s^(3 ) =2/s^3 =F(s)

f(t)cos⁡at
F(s)=∫_0^∞▒e^(-st) f(t)dt=lim┬(b→∞) ∫_0^b▒〖e^(-st) cos〗 (at)dt
∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt
u=cos⁡〖(at) dv=e^(-st) 〗 dt
du=-asen(at)dt v=-1/se^(-st)
∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt= -1/s e^(-st) cos⁡(at)-∫▒〖-1/s〗 e^(-st) (-asen(at)dt
=-1/s e^(-st) cos⁡(at)-a/s ∫▒〖e^(-st) sen(at)dt〗
=∫▒e^(-st) sen(at)dt
u=sen(at) dv=e^(-st)
du=acos(at)dt v=-1/s e^(-st)
∫▒〖e^(-st) sen(at)dt=-1/s〗 e^(-st) sen(at)-∫▒〖-1/s〗 e^st acos⁡(at)dt
=-1/s e^(-st) sen(at)+a/s ∫▒e^(-st)cos⁡(at)dt
∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt=-1/s e^(-st) cos⁡(at)-a/s [-1/s e^(-st) sen(at)+a/s ∫▒〖e^(-st) cos⁡(at)〗]
=-1/s e^(-st) cos⁡(at)+a/s^2 e^(-st) sen(at)-a^2/s^2 ∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt
∫▒e^(-st) cosatdt=-1/s e^(-st) cos⁡(at)+a/s^2 e^(-st) senat-a^2/s^2 ∫▒e^(-st) cosat dt
∫▒〖e^(-st) cos⁡(at)dt+a^2/s^2 〗 ∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt
=-1/s e^(-st) cosat+a/s^2 e^(-st) sen(at)
=(1+a^2/s^2 )∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt=-1/s e^(-st) cos⁡(at)+a/s^2 e^(-st) sen(at)
=∫▒e^(-st) cos⁡(at)dt=1/((1+a^2/s^2 ) )(1/s e^(s-b) cos⁡(at)+a/s^2 e^(-st) sen(at))
=(( 1 )/s^(2+a^2 ) )/s^2 (-1/〖se〗^st cosat+a/(s^(2 ) e^st ) sen(at)dt)
=s^2/(s^2+a^2 ) (-cosat/〖se〗^st +asenat/(s^2 e^st ))
F(s)=∫_0^∞▒〖e^(-st) cos⁡(at)dt=〗 〖lim⁡ 〗┬(b→∞) ∫_0^b▒〖e^(-st) cos⁡(at)dt〗
=〖lim⁡ 〗┬(b→∞)[s^2/(s^2+a^2 ) (-(cos⁡(at))/〖se〗^st +(asen(at))/(s^2 e^st ))]_0^b
=〖lim⁡ 〗┬(b→∞) s^2/(s^2+a^2 ) (-(cos⁡(ab))/〖se〗^sb +(asen(ab))/(s^2 e^sb ))-(-cos0/(se^0 )+asen0/(s^2 e^0 ))
=〖lim⁡ 〗┬(b→∞) s^2/(s^2+a^2 ) (-(cos⁡(ab))/〖se〗^sb +(asen(ab))/(s^2 e^sb ))+1/s
〖lim⁡ 〗┬(b→∞) cosab/e^sb =0 igual 〖lim⁡ 〗┬(b→a) senab/e^sb =0
〖lim⁡ 〗┬(b→∞) s^2/(s^2+a^2 ) [-cosab/(se^sb )+asenab/(s^2 e^sb)+1/s]
=s^2/(s^2+a^2 ) (1/s)=s/(s^2+a^2 )=F(s)

〖f(t)=e〗^at
F(s)=∫_0^∞▒e^(-st) e^at dt=〖lim⁡ 〗┬(b→∞) ∫_0^b▒〖e^(-st) e^at⁡dt〗
=〖lim⁡ 〗┬(b→∞) ∫_0^b▒〖e^(a-s)t⁡dt〗
∫▒〖e^(a-s)t dt =∫▒〖e^u (1/(a-s) du) 〗〗
u=(a-s)t du=(a-s)dt dt 1/(a-s) du
=1/(a-s) ∫▒e^u du=1/(a-s) e^u=1/(a-s) e^(a-s)t
F(s)=〖lim〗┬(b→∞) ∫_0^b▒e^(a-s)t⁡dt =〖lim⁡ 〗┬(b→∞) 1/(a-s)...