Desigualdad triangular

Desigualdad triangular


Desigualdad del triángulo.
La desigualdad del triángulo es un teorema de geometría euclidiana que establece:
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. 1
Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulocumple la siguiente propiedad:

Camino euclidiano de mínimo recorrido[editar · editar código]


Desigualdad del triángulo tendiendo hacia la igualdad mientras reduce su altura.
En geometría euclidiana (y en algunas otras geometrías2 ) la desigualdad triangular es un teorema importante acerca de las medidas y las distancias. Siguiendo en geometría euclidiana, dicha desigualdad en triángulosrectángulos, es una consecuencia del teorema de Pitágoras, y para los triángulos en general una consecuencia de la ley de los cosenos, aunque ésta puede ser probada sin esos teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en ℝ² o ℝ³ (aunque también es válida para ℝn). La figura de la derecha muestra tres ejemplos progresivos partiendo de una clara desigualdad (triángulo más alto) hastaacercarse tanto como se quiera a la igualdad (triángulo más bajo). Advierta que se logra tanta más aproximación a la igualdad, cuanto más se aproxima el vértice Z (el opuesto al lado z) a cualquier punto del segmento que conforma al lado z de la base del triángulo, y esto con total independencia del camino que se utilice.
El teorema de la desigualdad triangular solo menciona los casos de desigualdad (nopodría ser se otra manera debido a su enunciado) y así evita el tratar con el caso límite de si tres vértices colineales siguen o no definiendo un triángulo, (aún si se conviene en que sí, estaríamos ante un caso de figura geométrica degenerada y éstas conducen en general a soluciones espurias, aunque particularmente en éste caso, no es así).
Siendo h la altura del triángulo ytomando límite con  , la polémica se soslaya y se adquiere el derecho a extender la fórmula inicial a una más general.
Si (x, y, z) son las respectivas denominaciones de los lados de un tiángulo cualquiera y h la altura correspondiente al lado z, entonces podremos reconocer dos casos:
1) Aceptado h>0. Implica quedarnos con las tres desigualdades tradicionales del teorema:

2) Aceptado h≥0. En éste segundo caso logramostres desigualdades más generales que las del teorema porque incluyen el caso que más nos interesa, el cual es el caso límite de igualdad :

En geometría euclídea, sólo se obtiene el caso límite de igualdad cuando el triángulo (aunque degenerado) tenga altura h=0 (sobre el lado que se ha denominado z) y además el vértice Z pertenezca al segmento xy (o sea al lado z), llegando entonces los tresvértices, a ser colineales, como se muestra en el ejemplo (línea base).

Como el vértice Z puede estar en cualquier lugar (del plano al que pertenece el triángulo), pero en la desigualdad triangular solo se logra el caso límite de igualdad3 cuando dicho vértice se encuentra en un lugar tal que pertenece al segmento constituyente del lado z, y como por otra parte la mínima longitud que puede tener lasuma x+y cumpliendo con ser mayor o igual a la longitud del lado z es justamente la longitud del lado z, se concluye entonces que para el caso límite de x+y=z estamos ante una longitud de mínimo recorrido posible entre los vértices X e Y de z, (en definitiva entre dos puntos cualquiera, por ser z un lado genérico), lo cual demuestra que la línea recta es el camino de menor longitud posible entreellos.
Por todo lo anterior es posible afirmar que:
En geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.
Es importante registrar que la desigualdad triangular euclídea en ℝ² o ℝ³ es una idea de gran simplicidad. Luego en matemáticas más avanzadas se podrá ver que la “idea” de la desigualdad (ya no triangular) se puede generalizar también a polígonos de cuatro o...