Desigualdades

Desigualdades
1. Introducción
Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen
libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales
de problemas aparecen con frecuencia. Todo solucionista experto debe estar
familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo.
En lo que sigue se supone que el lector domina las propiedadesbásicas
de las desigualdades entre números reales.
La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de
la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente
x2 ¸ 0;
con igualdad si y sólo si x = 0. Más en general
x2
1 + x2
2 + ¢ ¢ ¢ + x2
n+ ¸ 0;
con igualdad si y sólo si x1 = x2 = ¢ ¢ ¢ = xn.
2. Algunos ejemplos sencillos
Si x e y son reales nonegativos entonces (px ¡ py)2 ¸ 0, de donde se
deduce que x ¡ 2pxy + y ¸ 0 o bien
x + y
2 ¸ pxy;
con igualdad si y sólo si x = y.
La desigualdad anterior establece que la media aritmética A = (x+y)=2
de dos reales no negativos x, y es mayor o igual que su media geométrica
G = pxy . Otras medias importantes son la media armónica H = 2xy=(x+y)
y la media cuadrática C = p(x2 + y2)=2 . Es fácil verque C ¸ A ¸ G ¸ H
1
y que una cualquiera de las igualdades (y por lo tanto todas) se da si y sólo
si x = y.
Como segundo ejemplo consideremos la desigualdad
(x ¡ y)2 + (y ¡ z)2 + (z ¡ x)2 ¸ 0;
la cual obviamente se cumple para reales cualesquiera x, y, z con igualdad
si y sólo si x = y = z. De esta desigualdad se deduce que
x2 + y2 + z2 ¸ xy + yz + zx;
con igualdad si y sólo si x = y = z.Veamos una aplicación.
Ejemplo 1. Si se sabe que la ecuación x3 + mx2 + x + n = 0 tiene raíces
reales positivas cuyos cuadrados suman 1, ¾cuánto valen m, n y las raíces?
Solución. Si las raíces son ®, ¯ y °, entonces ®2+¯2+°2 = 1 y ®¯+¯°+°® =
1 (Vieta), entonces por la desigualdad anterior ® = ¯ = °. Entonces 3®2 = 1
de donde ® = p3=3, m = ¡3® = ¡p3 y n = ¡®3 = ¡p3=9.
Y ahora un ejemploolímpico:
Ejemplo 2 (IMO 1961).
Sean a, b y c los lados de un triángulo y ¢ su área. Probar que
a2 + b2 + c2 ¸ 4p3¢:
Solución. Para este problema hay numerosas soluciones, pero veamos que se
puede resolver con los recursos más elementales. Si el triángulo fuese equilátero
entonces su altura sería ap3=2 y su área a2p3=4, por lo tanto se cumpliría
la igualdad. Para un triángulo cualquierasupongamos que a sea el lado mayor
y sea P el pie de la altura trazada desde el vértice A. Sea x = BP ¡a=2
(por lo tanto BP = a=2 + x y PC = a=2 ¡ x). Sea y = ha ¡ ap3=2 (de
donde ha = y+ap3=2). La idea para introducir x e y es que estas cantidades
representan la desviación del triángulo respecto a uno equilátero. Entonces,
por el Teorema de Pitágoras aplicado a los triángulos ABP y APC se tiene
a2+ b2 + c2 ¡ 4¢p3 = a2 + (a
2
+ x)2 + (a
2 ¡ x)2 + 2h2
a ¡ 2ap3ha
=
3
2a2 + 2x2 + 2ha(ha ¡ ap3)
=
3
2a2 + 2x2 + 2(ap3=2 + y)(¡ap3=2 + y)
=
3
2a2 + 2x2 + 2y2 ¡
3
2a2 = 2(x2 + y2) ¸ 0:
Esto prueba la desigualdad y de paso muestra que hay igualdad si y sólo si
x = y = 0, lo que equivale a que el triángulo sea equilátero.
2
3. Algunas desigualdades importantes
Una desigualdad muybásica cuando se trabaja con números positivos y
negativos es la llamada desigualdad triangular:
jx1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xnj · jx1j + jx2j + ¢ ¢ ¢ + jxnj:
La igualdad se da si y sólo si todos los xi no nulos son del mismo signo.
La desigualdad entre las medias aritmética, geométrica, armónica y cuadr
ática se puede generalizar para n términos. Comencemos por las dos primeras.
3.1. DesigualdadAritmético-Geométrica (AG)
Si x1; x2; : : : ; xn son números reales no negativos entonces
x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn
n ¸ npx1x2 ¢ ¢ ¢ xn
y la igualdad se da solamente si x1 = x2 = ¢ ¢ ¢ = xn.
Existen muchas demostraciones de esta importante desigualdad. Una de
las más elegantes es la siguiente:
Sea A la media aritmética y G la media geométrica de x1; x2; : : : ; xn. Es
claro que si x1 = x2 = ¢ ¢...