Desigualdades

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DESIGUALDADES
DESIGUALDADES LINEALES
En esta sección trataremos las desigualdades lineales en una variable. Ellas son las que se
pueden escribir en la forma ax + b > 0 , (≥) donde a y b son constantes, (a ≠ 0) . Resolver una
desigualdad es conseguir todos los valores x que satisfacen está relación, el conjunto solución suele ser
un intervalo.
Las desigualdades lineales surgen delplanteamiento de determinados problemas, como por
ejemplo, en una industria ¿cuántas unidades deberá producirse de un artículo si se desea tener
utilidades semanales mayores a 10.000UM?. También son importantes en la resolución de
determinados planteamientos matemáticos.
Repasemos algunos conceptos y resultados que nos serán de utilidad para puntualizar la
resolución de desigualdades lineales.Sean a y b dos números reales.
Al situarlos en la recta real, si a está a la
izquierda de b entonces decimos que a es menor que
b o equivalentemente podemos decir también que
b es mayor que a.
El símbolo ≤ significa menor o igual, en una
expresión como a ≤ b significa que a < b ó a=b.
El símbolo ≥ tiene un significado equivalente.

Podemos decir: − 3 < −1 , 1 < 3
−1 < 0 y 1 > 0 .
Laexpresión a > 0 es equivalente a decir que
a es positivo.
La expresión a < 0 es equivalente a decir que a es ___________________ .
Recordemos que uno de los objetivos de esta sección es resolver desigualdades lineales con
una variable. Es decir encontrar aquellos valores de x que satisfacen la desigualdad. Hay desigualdades
lineales cuya solución es evidente:
1)

x > a . La solución es elintervalo (a, ∞)

2)

x < a . La solución es el intervalo (−∞, a)

3)

x ≥ a . La solución es el intervalo [a, ∞)

4)

x ≤ a . La solución es el intervalo (−∞, a]

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Remarcamos que el corchete ] significa que ese extremo está en el conjunto solución y el paréntesis )
no está.

La expresión a < x < b quiere decir que
a< x y x 0 , (o bien ≥ ) donde c y b son constantes con c ≠0 . Resolver una desigualdad es
conseguir todos los valores x que satisfacen esta relación.
La manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma

x > a o cualquiera de las otras tres formas cuya solución es evidente: x < a, x ≥ a ó x ≤ a . Para

llevarla a alguna de estas tres formas debemos tener en cuenta ciertas reglas que enunciamos a
continuación.Regla 1.- Cuando un número real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de
la desigualdad no se altera:

2

3
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c
Ejemplo 1.- a) 22-1. Observe que esta expresión es equivalente a
su vez a 3x>2-1. Normalmente esta regla la usamos como se indica:
Aplicación de la regla 1.- Si un número está sumando en un lado de ladesigualdad pasa al otro
lado restando sin cambiar el sentido de la desigualdad. Similarmente si un número está restando
pasa al otro lado sumando sin cambiar el sentido de la desigualdad.
Regla 2.- Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c positivo a ambos lados de una
desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces ac < cb y

a b
<
c c

Cuandomultiplicamos o dividimos por un número real c negativo a ambos lados de una
desigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:

Si a < b entonces ac > cb y
Ejemplo 2.a) -5
c c

4
−5
5
>
, esto es 1 > − . También
4
−5 −5

-5(-2)>4(-2): es decir 10>-8, lo cual sabemos es cierto y no la desigualdad en el otro sentido.

3x
1
1
, es decir x > − .
>
−3 −3
3
x
x
c) La desigualdad > 4es equivalente a 2 > 2 ⋅ 4 , es decir x > 8
2
2
b) La desigualdad − 3 x < 1 es equivalente

Aplicación de la regla 2.- Si un número positivo está multiplicando (dividiendo) un lado de la
desigualdad pasa al otro lado dividiendo (multiplicando) sin cambiar el sentido de la desigualdad.
Si un número NEGATIVO está MULTIPLICANDO (dividiendo) un lado de la desigualdad pasa al
otro lado...