Desigualdades

DESIGUALDADES 
Usando solamente el subconjunto R+ descrito en A.O.1., se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualdades de números reales.  
 
Definiciones 
Sean x, y númerosreales.  
 
Los símbolos "<" y ">" (que se leen: "menor que" y "mayor que" respectivamente) se definen por las afirmaciones:
x < y  y – x R+ 
x > y  x – y R+
Los símbolos "" y " "(que se leen: "menor o igual que" y "mayor o igual que" respectivamente) se definen por las afirmaciones:
x  y x < y v x = y  
x y  x > y v x = y 
Cada una de las expresiones: x < y, x> y, x  y, x  y es llamadauna desigualdad. 
Se sigue de la definición anterior que las desigualdades: x > y, y, y < x son equivalentes. Igualmente las desigualdades: x  y, y, y x sonequivalentes.  
  
 
La expresión: x < y < z, se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x < y ^ y < z. Igualmente, la expresión: x > y > z, se usa para indicar las dosdesigualdades simultáneas: x > y ^ y > z. 
En cualquiera de los dos casos de la definición anterior, se dice que y está entre x y z. 
Interpretaciones similares pueden establecerse para lasdesigualdades: x  y z; x  yz; x < y z; x  y< z, etc. 
Claramente, a  R+ a > 0
a es negativo  a < 0
 
Las propiedades siguientes, que enunciamos sin demostración son consecuencia inmediata dela propiedad de orden y serán útiles en el trabajo con desigualdades.  
  
CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA PROPIEDAD DE ORDEN 
01. Tricotomía. 
  
Si x, y R , entonces, una y solo una de lassiguientes proposiciones es verdadera: 
x > y ; x = y ; x < y.  
 
02. Transitiva. 
  
Para todo x, y, z R , 
x < y ^ y < z  x < z. 
x > y ^ y > z  x > z.  
 
03. Six, y, z R , entonces: 
  
x < y  x + z < y + z ^ x – z < y – z . 
x > y  x + z > y + z ^ x – z > y – z . 
x  y x + z  y + z ^ x – z  y – z . 
x  y  x + z  y + z ^ x –...