Desigualdades

Problemas de Desigualdades

Autor: David Hasson

Santiago de Chile 19 de septiembre de 2012

´ Indice
1. Introducci´n o 2. Abreviaciones 3. Resultados previos 1 2 2

4. Desigualdades de las Medias y Cauchy-Schwarz 3 4.1. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5. Reordenamiento y Chebyshov 12 5.1. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

1.

Introducci´n o

En este documento se presenta una recopilaci´n de problemas resueltos. o Los temas tratados son los m´s b´sicos de las desigualdades ol´ a a ımpicas: La desigualdad de las Medias, Cauchy-Schwarz y por ultimo las desigualdades ´ de Reordenamiento y de Chebyshov. Adem´s, se incluyen un par de problea mas propuestos por cada secci´n. o Los cr´ditos por cada problemavan a sus respectivos autores. Cada uno e trae indicada su procedencia o autor. Al final del documento se incluye la bibliograf´ de donde se obtuvieron los problemas. ıa Espero que el dominio de las desigualdades y t´cnicas tratadas en este e documento logre dejar al lector capacitado para atacar una cantidad no menor de problemas. Agradecer´ enviar sugerencias y correcciones adavid.hasson@ing.uchile.cl. e

1

2.

Abreviaciones

A continuaci´n se presentan varias abreviaciones que son usadas en este o material: ACoPS: The Art and Craft of Problem Solving de Paul Zeitz IMO : Olimp´ ıada Internacional de Matem´tica a ONM: Olimp´ ıada Nacional de Matem´tica (Chile) a TNO : Apuntes de Matem´ticas Ol´mpicas del Torneo El N´mero de Oro, a ı u versi´n 2010 o USAMO: United States ofAmerica Mathematical Olympiad

3.

Resultados previos

Antes que todo, se presentan los resultados importantes sobre los que se trabajar´. Se asume un lector familiarizado con sus demostraciones. En caso a contrario, es bueno leerlas. Puede revisar la teor´ en detalle en las obras [1], ıa [3] y [4]. Resultado 1. El cuadrado de todo n´mero real es positivo. Esto es, u x2 ≥ 0 , ∀x ∈ R. Estadesigualdad es fundamental en la teor´ posterior de ıa desigualdades. Desigualdad de las Medias. Sean a1 , a2 , ..., an n´meros reales positivos u cualquiera. Entonces, √ a2 + a2 + · · · + a2 a1 + a2 + · · · + an 1 2 n ≥ ≥ n a1 a2 · · · an ≥ n n n +···+

1 a1

+

1 a2

1 an

Y las igualdades se cumplen si y s´lo si a1 = a2 = ... = an . o Estas cantidades son llamadas (de izquierda a derecha):Media Cuadr´tia ca, Media Aritm´tica, Media Geom´trica y Media Arm´nica de los n´meros e e o u a1 , a2 , ..., an . Suelen abreviarse como MC, MA, MG y MH, respectivamente. De toda la secuencia, la desigualdad que m´s se usar´ en este documento es a a la de MA ≥ MG.

2

Desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky. Para x1 , ..., xn , y1 , ..., yn reales, se cumple: x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n
2 22 y1 + y2 + · · · + yn ≥ (x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn )2

Adem´s, la igualdad se alcanza si y s´lo si x1 = x2 = · · · = xn . a o y1 y2 yn Desigualdad de Reordenamiento. Consideremos 2 colecciones crecientes de n´meros reales, u a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an y b 1 ≤ b 2 ≤ · · · ≤ b n . Para cualquier permutaci´n (c1 , c2 , ..., cn ) de (a1 , a2 , ..., an ), se cumple que o a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn≥ c1 b1 + c2 b2 + · · · + cn bn ≥ an b1 + an−1 b2 + · · · + a1 bn . La primera igualdad se alcanza si y s´lo si c1 = a1 , c2 = a2 , ..., cn = an . La o segunda igualdad se alcanza si y s´lo si c1 = an , c2 = an−1 , ..., cn = a1 . o Desigualdad de Chebyshov. Es un resultado directo de la Desigualdad de Reordenamiento, y establece que si a1 ≤ a2 ≤ ··· ≤ an y b1 ≤ b2 ≤ ··· ≤ bn , entonces a1 + a2 + · ·· + an b 1 + b 2 + · · · + b n a1 b 1 + a2 b 2 + · · · + an b n ≥ · . n n n La igualdad se cumple si y s´lo si a1 = a2 = · · · = an o b1 = b2 = · · · = bn . o

4.

Desigualdades de las Medias y Cauchy-Schwarz
Problema 1. Sean a, b, c reales positivos. Pruebe que a2 b2 c2 + 2 + 2 ≥1 a2 + 2bc b + 2ca c + 2ab TNO

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Soluci´n 1.1 Esta soluci´n consiste en trabajar hacia atr´s hasta...