Determinantes

Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial. Grao de Matemáticas.
6.- Determinantes e as súas aplicacións.
6.1. Definición. Sexa A = (aij)  Mnxn(K), unha matriz cadrada de orde n. Denotamos por A(i|j) a matriz resultante de A ó suprimir a fila i e a columna j. Definimos o determinante de A, det(A) ou A , como sigue i) Se n = 1, A = (a11), det(A) = a11. ii) Se n > 1, det(A) = a11det(A(1|1)) –a21det(A(2|1)) + … + (-1)n+1 an1det(A(n|1)) = =
n

 (1)
i 1

i 1

 i1 det( A(i | 1)) .

Chamamos adxunto ou cofactor do coeficiente aij de A e notarémolo por Aij , ó valor Aij = (−1)i+j det(A(i|j)). Para obter o adxunto dun coeficiente aij, calculamos o determinante da matriz que resulta de A ó suprimir a fila i e a columna j, e o signo que precederá a este determinante será + se i + j épar - se i + j é impar. Dada unha matriz cadrada A = (aij) de orde n, os adxuntos dos elementos da primeira columna son A11, A21, …, An1 e det(A) = a11A11 + a21A21 + .... + an1An1. Esta fórmula é coñecida como desenvolvemento do determinante de A polos adxuntos dos elementos da primeira columna e permite calcular o determinante de calquera matriz cadrada. det(A) =
n


i 1

i1

Ai1.

16.2. Exemplo (Determinante de orde 2)
Cálculo do determinante dunha matriz cadrada de orde 2.
a Se A =  11 a  21 a12  , a 22  

aplicando a fórmula da definición temos que
a det  11 a  21 a12   = a11det(A(1|1)) – a21det(A(2|1)) = a11a22 – a21a12. a 22  

6.3. Exemplo (Determinante de orde 3)
Cálculo do determinante dunha matriz cadrada de orde 3.
 a11  Se A =  a 21a  31 a12 a 22 a32 a13   a 23  , a33  

Se facemos o desenvolvemento de tódolos pasos, temos:

 a11  det  a 21 a  31

a12 a 22 a32

a13   a 23  = a11det(A(1|1)) – a21det(A(2|1)) + a31det(A(3|1)) = a33   a 23  a  – a21det  12  a a33   32 a13  a  + a31det  12  a a33   22 a13   = a 23  

a = a11 det  22 a  32

= a11 (a22 a33 – a23 a32) – a21 (a12a33 – a13 a32) + a31 (a12 a23 – a13 a22) = = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23 – a31 a13 a22.

6.4. Proposición.
Sexa A = (aij)  Mnxn(K), unha matriz cadrada de orde n.

2

 a11   ..  ..  det  ..  ..   ..  a  n1

.. a1( j 1) .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

a1 j .. .. .. .. .. a nj a11 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

a1( j 1) .. .. .. .... a n ( j 1) .. a1( j 1) .. .. .. .. ..

.. a n ( j 1)

.. a1n   .. ..  .. ..   .. ..  = .. ..   .. ..   .. a nn   a1( j 1) .. .. .. .. .. a n ( j 1) .. a1n   .. ..  .. ..   .. ..  . .. ..   .. ..   .. a nn  

 a1 j   ..  ..  = (-1)(j-1) det  ..  ..   ..  a  nj

a n1 .. a n ( j 1)

Demostración:
Faremos unha demostración por inducción: i) Paran = 2, é claro pois

a det  11 a  21 a det  12 a  22

a12   = a11det(a22) - a12det(a21) = a11a22 - a12a21 a 22   a11  a  = a12det(a21) - a11det(a22) = a12a21 - a11a22 = (-1)2-1det  11 a a 21    21 a12  . a 22  

ii) Supoñemos certo para matrices cadradas de orde n-1 iii) Probamos que se é certo para matrices cadradas de orde n-1, entonces é certo para matricescadradas de orde n. En efecto:
 a11   ..  ..  det(A) = det  ..  ..   ..  a  n1 .. a1( j 1) .. .. .. .. .. .. .. .. a1 j .. .. .. .. .. a nj a1( j 1) .. .. .. .. .. a n ( j 1) .. a1n   .. ..  .. ..   .. ..  = .. ..   .. ..   .. a nn  

 (1)
i 1

n

i 1

ai1 det( A(i | 1)) .

.. .. .. a n ( j 1)

3

Por hipótese de indución, como A(i|1) é unha matriz cadradade orde n-1, se poñemos a columna j como primeira columna, desplazando as outras columnas un lugar temos  a12   ..  ..  det A(i|1) = det  a( i 1) 2 a  ( i 1) 2  ..   a  n2  a1 j   ..  ..  = (-1)j-2 det  a (i 1) j a  ( i 1) j  ..   a  nj
i 1

.. a1( j 1) .. .. .. .. .. a( i 1)( j 1) .. a ( i 1)( j 1) .. .. .. a n ( j 1)

a1 j .. .. a (i 1) j a ( i 1) j...