Diferencia de cuadrados

APROXIMACIÓN DIDÁCTICA A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
MATEMÁTICAS

Trabajo Práctico 1:
Procesos matemáticos en la resolución de problemas numéricos

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN

2. ANÁLISIS DE LA TAREA

3. PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN

4. ESTUDIO DE UN PROBLEMA DE GENERALIZACIÓN PARA ESTUDIANTES DE SECUNDARIA

1. INTRODUCCIÓN

El trabajo consiste endesarrollar un problema matemático, entendido como aquel que no eres capaz de abordar de manera trivial, de forma que se veamos cómo funciona nuestra mente al ir tratando de avanzar en la resolución del mismo e ir viendo que las distintas fases que hemos visto en la asignatura (particular, generalizar, conjeturar, etc) se dan en el proceso de encontrar la solución.

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2. ANÁLISIS DE LA TAREAEl problema que abordaré a lo largo de todo el trabajo será el siguiente:

SUMAS CONSECUTIVAS

Algunos números se pueden expresar como suma de una sucesión de números positivos consecutivos. Exactamente, ¿qué números tienen esa propiedad? Por ejemplo, observa que

9 = 2+3+4 11 = 5+6 18 = 3+4+5+6

• Sistemas de representación del enunciado
El enunciado del problema essencillo y corto. Un primer vistazo al mismo no deja ver la amplia variedad de situaciones y de conclusiones que se pueden llegar a sacar del mismo. No hay representación gráfica, aunque sí que nos dejan ver unos casos particulares expresados con un lenguaje matemático muy sencillo.

3. PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN

Lo primero que se me ocurrió a la hora de tratar de abordar el problema fuecomenzar a ver el problema desde el final hacia delante. De esta manera, comencé a ver los números que se generaban al utilizar la suma de dos números consecutivos y fui ordenando el resultado y buscando alguna norma general que se repitiera

1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7 +2. Fórmula General Sucesión: an=2n+1
4 + 5 = 9
…

Como se puede apreciar rápidamente, se nos genera una sucesiónaritmética de números cuya expresión general es an=2n+1, que no es otra que la sucesión de números impares, con lo que se saca una primera conclusión y es que todo número impar puede ser descompuesto como suma de dos números consecutivos. Esta primera rápida conclusión deja fuera tan sólo a los números pares, con lo que en principio me pareció que el camino que había seguido para encontrar todos losnúmeros que podían ser descompuestos era el correcto.

El siguiente paso era ir formando las distintas sucesiones de números que se nos forman al ir sumando números consecutivos (tres sumandos, cuatro sumandos, etc) y ver si somos capaces de encontrar una repetición que nos permita generalizar con que se han encontrado todos los que debíamos de encontrar.

1+2+3=6
2+3+4=9
3+4+5=11 +3. Fórmulageneral sucesión an=3n+3 ( MÚLTIPLOS DE TRES
4+5+6=15
…

1+2+3+4=10
2+3+4+5=14 +4. Fórmula general sucesión an=4n+6 ( NÚMEROS PARES
3+4+5+6=18

Análogamente, si lo hiciéramos para las sucesiones de suma de cinco, seir y siete consecutivos, obtendríamos los siguientes términos generales:

5 TÉRMINOS an=5n+11 ( NÚMEROS QUE ACABEN EN CERO
6 TÉRMINOS an=6n+15 ( IMPARES (Ya estaban contados)7 TÉRMINOS an=7n+21 ( DIVISIBLE POR SIETE

A pesar de ir sacando muy diversas características que se tienen que dar para que un número pueda ser descompuesto en suma de números consecutivos, llegados a este punto no veo que haya una norma general que permita establecer cuáles no se pueden descomponer de dicha forma. Estimo que ha llegado el momento de intentar enfocar el problema desde otropunto de vista.

Cambiar el punto de vista es complicado cuando ya has comenzado por un camino, pero finalmente, decido comenzar otra particularización del problema comenzando por el inicio en lugar de por el final, es decir, comenzar a escribir los números desde el 1 e intentar buscar la descomposición de ellos para ver si dicho camino arroja algún resultado interesante.

1=20
2=21
3=1+2...