Dirigidap Sol 256163

at
e

M

Curso: Matem´
aticas II

M

at
e

2

at
e

M

2

Manual de imagen
Universidad del Pacífico

Logotipo institucional

Solucionario de la Novena Pr´
actica Dirigida

UP

UP

Viernes 14 de Noviembre de 2014

2

2

e

f (mx + b)dx = F (mx + b) + C

at

at
e

b) Sea f : R → R. Si f (x) es una primitiva de f (x), entonces f es la funci´on nula.

M

c) Sea f : R → R. Si f (x) es creciente,entonces cualquier primitiva de f es creciente.
d ) Sean F, f : R → R. Si F es primitiva de f , entonces eF (x) es primitiva de ef (x)
Soluci´
on.

M

M

a) Si F (x) es una antiderivada de la funci´on f (x) en el intervalo I, entonces

at
e

2

1. Determine la veracidad de las siguientes afirmaciones, justifique.

a) Falso, la funci´
on F (x) = x2 es antiderivada de f (x) = 2x pero

UP

UP

f (x)dx =x2 + C = F (mx + b) + C = (mx + b)2 + C
b) Falso, la funci´
on f (x) = ex es primitiva de ella misma y no es la funci´on nula.

M

, vemos que e

c)

(x + 1)

2x2 + 4xdx.

no es primitiva de ex .

e

x2
2

1
dx.
ax + b

at

2. Calcule las siguientes integrales
√
sec2 ( x)
√
a)
dx.
x
1
b)
dx, a = 0.
2
a + x2

(primitiva de f) no es creciente.

M

at
e

2

at
e

M

x2
2

2

d ) Falso, consideremos f(x) = x y F (x) =

x2
2

2

c) Falso, la funci´
on f (x) = x es creciente pero F (x) =

d)

√

e)

4x sec(x2 ) tan(x2 )dx.

f)

(xm − xn )2
√
dx
x

e
at
M

at
e

1

M

at
e

2

2

Soluci´
on.

2

UP

UP

Para la u
´ltima integral considrere que 2m − 1/2, m + n − 1/2 y 2n − 1/2 son diferentes a −1.

1
√
dx
2 x

la integral es
sec2 (u)du

√
√
sec2 ( x)
√
dx = 2 tan( x) + C
x

integrando yretornando a la variable x, obtenemos

1
1
1
dx = 2
dx, del cambio de variable u =
2
+x
a
1 + ( xa )2
1
1
1
x
1
dx =
du, integrando y retornando a la
a , du = a dx tenemos
a2 + x2
a
1 + u2
1
1
x
variable x tenemos
dx = arctan( ) + C
2
2
a +x
a
a
2
c) Consideremos es cambio de variable u = 2x + 4x, du = (4x + 4)dx, de aqu´ı la integral
1 √
udu; integrando y regresando a x obtenemos
I = (x + 1) 2x2 + 4xdx =4

b) Reescribiendo la integral

x2m − 2xm+n + x2n

dx =

1

1

1

x2m− 2 − 2xm+n− 2 + x2n− 2 dx

2

x

1
2

2

UP

I=

UP

M

d ) Consideremos el cambio de variable u = ax + b, du = adx, de aqu´ı tenemos
1
2√
√
dx =
ax + b + C.
a
ax + b
sin(x2 )
e) La integral se puede reescribir de la siguiente manera I = 4x 2 2 dx, definimos u =
cos (x )
1
cos(x2 ), du = − sin(x2 )2xdx; con esto se tiene I =−2
du, integrando obtenemos
u2
2
I = cos(x2 ) + C.

xex dx

b)

ln2 (x)dx

e2θ sin(3θ)dθ

d)

(x2 + 1)e−x dx

UP

UP

c)

a) Definimos u = x y dv = ex dx, aplicando integraci´on por partes tenemos

xex dx =

2

xex dx = xex − ex + C.

e

2

ex dx, luego

2
M

at

at
e

2

M

xex −

e

M

3. Calcule las siguientes integrales
a)

at

1
1
1
2
2
2
x2m+ 2 −
xm+n+ 2 +
x2n+ 2 + C
4m + 1
2m + 2n + 1
4n + 1M

I=

at
e

2

Como 2m − 1/2, m + n − 1/2 y 2n − 1/2 son diferentes a −1, integrando se obtiene

Soluci´
on.

at
e

2

at
M

at
e

3
1
I = (2x2 + 4x) 2 + C
6

M

at
e

e

2

at
e

2

UP

UP

a2

f ) Reescribiendo la integral

M

M

x, du =

√
sec2 ( x)
√
dx = 2
x

M

M

√

at
e

2
at
e

2

at
e

a) Con el cambio de variable u =

at
e

2
at
e

2

at
e

se concluye

ln2 (x)dx = x ln2 (x) − 2

M

Mtenemos

M

b) Procedemos con el m´etodo de integarci´on por partes, tomando u = ln2 (x) y dv = dx
ln(x)dx, nuevamente tomando u = ln(x) y dv = dx

ln2 (x)dx = x ln2 (x) − 2[x ln(x) − x] + C
e2θ sin(3θ)dθ =

c) Tomamos u = e2θ y dv = sin(3θ)dθ e integrando por partes, tenemos

e2θ sin(3θ)dθ

2

1
2 1
2
e2θ sin(3θ)dθ = − cos(3θ)e2θ +
sin 3θe2θ −
3
3 3
3

M

d ) Procedemos con el m´etodo deintegraci´on por partes, tomando
u = x2 + 1 y dv = e−x dx tenemos
(x2 + 1)e−x dx = −(x2 + 1)e−x + 2

at

1
−3 cos(3θ)e2θ + 2 sin(3θ)e2θ + C
13

M

at
e

e2θ sin(3θ)dθ =

e

e2θ sin(3θ)dθ se tiene el resultado

por u
´ltimo despejando

M

2

UP

e2θ cos(3θ)dθ, nuevamente tomando u = e2θ y dv = cos(3θ)dθ

at
e

2

UP

2
1
− cos(3θ)e2θ +
3
3
obtenemos

xe−x dx

nuevamente haciendo u = x y dv = e−x dx e...