Distancia entre punto y punto

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos del plano es la longitud del segmento que los une.
En términos de vectores, definimos la distancia entre dos puntos, A y B, como el módulo del vector que determinan.
d(A, B) = | A B → |
Es decir, si A(a1, a2) y B(b1, b2) son las coordenadas de los dos puntos, el vector es A B → = (b1 - a1, b2 - a2) y, por tanto, la distancia entre lospuntos A y B se calcula con la fórmula:
d ( A , B ) = | A B → | = ( b 1 - a 1 ) 2 + ( b 2 - a 2 ) 2
Punto medio de un segmento
El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que:

Imagen:
Punto medio del segmento

d ( A , M ) = d ( M , B ) = 1 2 d ( A , B )
A M ¯ = M B ¯ = 1 2 A B ¯
De las doscondiciones anteriores deducimos que el punto medio del segmento es M = A + 1 2 A B → .
Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen calculando la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento. Si A = (a1, a2) y B = (b1, b2), las coordenadas del punto medio M son:
M ( a 1 + b 1 2 , a 2 + b 2 2 )
De forma análoga, podríamos encontrar (n - 1) puntos que dividan un segmento en npartes iguales, sumándole al punto origen A, 1 n A B → , 2 n A B → , ... , n - 1 n A B → .
Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales.
Respuesta 1
El enunciado del teorema del coseno dice que en todo triángulo se verifica que la longitud de uno de sus lados es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (o menos) dos vecesel producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman. Matemáticamente este enunciado se expresa:


por lo que la razón del problema es demostrar la anterior expresión.Considerando el triángulo de la figura adjunta, podemos orientar sus lados de tal manera que se cumpla:



de acuerdo con la definición de suma de vectores.
Si desarrollamos el producto escalar del vector porsi mismo considerando los dos miembros, tenemos :



Igualando ambas expresiones nos queda :



Observando la figura vemos que el ángulo formado por los lados b y c es el denotado por A. Además, el signo positivo o negativo se refiere a un ángulo agudo u obtuso. Por todo ello:



Y sacando raices cuadradas :



como queríamos demostrar.
Dados tres puntos no alineados delespacio, calcular el vector unitario perpendicular al plano formado por los puntos. Obtener también la ecuación el plano que contiene a los tres puntos.
Respuesta 2
Consideremos tres puntos a,b y c, de coordenadas respectivas:



Tomando el punto a fijo, podemos considerar dos segmentos orientados:



Considerando estos dos segmentos como vectores podemos desarrollar su producto vectorialcon lo que obtenemos un vector perpendicular al plano formado por dichos vectores.
Si dividimos la expresión obtenida por su módulo, obtenemos el valor del vector unitario en dicha dirección:



Para obtener la ecuación del plano, recordamos que todo vector del mismo se puede expresar como combinación lineal de dos vectores que no sean linealmente dependientes, es decir:



siendo pun punto genérico del plano y dos parámetros escalares.
La ecuación del plano también se puede obtener teniendo en cuenta que el producto mixto de tres vectores coplanarios es nulo. De esa forma, desarrollando el determinante:



obtenemos la ecuación del plano considerado.
allar el área del triángulo que tiene por coordenadas cartesianas los puntos a(1, 3, 4) , b(-2, 1, -1) , c(0, -3, 2).Respuesta 3
El módulo del producto vectorial de dos vectores es numéricamente igual al área el paralelogramo que forman dichos vectores con las paralelas trazadas por sus extremos; por lo tanto, si dividimos por 2 dicho valor obtendremos el área del triángulo que forman dichos vectores.
Para obtener dos vectores a partir de las coordenadas dadas en el enunciado podemos hacer como en el...