Distribución de variables discretas

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL COMO APROXIMACIÓN A LA HIPERGEOMÉTRICA
La distribución binomial puede utilizarse para obtener, de manera rápida, resultados aproximados de una aplicación propia de la distribución hipergeométrica, la diferencia de resultados entre una y otra fórmula es mínima.
EJEMPLO:
De un grupo de 60 personas, 20 son mujeres. Si se selecciona al azar a 30 personas. ¿Cuál es laprobabilidad de que en la selección haya exactamente 8 mujeres?
Fórmula Binomial: Px= n! pxqn-x
x! (n-x)!
Px= 30! (.33)8 (.67)30-8
8! (30-8)!

Px= 0.1227 x 100= 12.27%
n (muestra)= 30
x (éxitos deseados) = 8
p (porcentaje de éxito)= 20/60=.33
q (porcentaje de fracaso)= 1-.33= .67

Fórmula hipergeométrica: Px= CTx CN-Tn-x
CnN
Px= C208 C60-2030-8C6030

Px= 20! 40!
8! 12! 22! 18!
60!
30! 30!

Px= (125970)(1.133802618 x1011)
(1.182645816x1017)

Px= 0.1207 x 100= 12.07%
T (no. Total de éxitos en la población) =20 mujeres
x (no. Deseado de éxitos)= 8 mujeres
N (no. De elementos de la población)= 60 personas
n (no. De elementos de la muestra) = 30 personas

NOTA: la diferencia entre una yotra fórmula es de .20 centésimas

MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
La media y la desviación estándar de la distribución hipergeométrica se calculan con las siguientes fórmulas:
Media: n * T
N

Desviación Estandar: nT * 1- T * N-n
N N N-1

n= es el número de elementos de la muestra
T= es el número total deéxitos en la población
N= es el número de elementos de la población
p=T/N es la proporción de éxitos en la población
q= 1-p es la proporción de fracasos en la población

EJEMPLO:
Media: n * T = 30* 20/ 100= 6
N

Desviación Estandar: nT * 1- T * N-n
N N N-1

= (30*20/100) * (1-20/100) * 100-30/100-1

Se va aseleccionar al azar a 30 personas de un grupo de 100, en el cual 20 son mujeres. Determine la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad del número de mujeres en la selección.
n= 30
T= 20
N= 100
p= 20/100 = 0.2
q= 1-0.2= 0.80

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
El matemático francés Simeon-Denis Poisson (1781-1840) dedujo la fórmula para calcular la probabilidad de que ocurraexactamente un número x de eventos, cuando éstos se presentan a razón de (lambda) eventos por unidad de tiempo.
Se ajusta perfectamente a las necesidades de calcular probabilidad de que en un día cualquiera se presentes más de un cierto número de reclamaciones por una póliza de seguros, o la probabilidad de que la demanda de servicios a la hora pico exceda la capacidad de los nuevos equipos, etc.Puede utilizarse para simplificar el cálculo que implica la distribución binomial, cuando n es grando y p es pequeño.
Fórmula: Px= x o x
x! (2.71828) x! e

x= es el número de éxitos deseados
= es la frecuencia de ocurrencia de los eventos
e= es la base de los logaritmos neperianos
EJEMPLO:
1.- En una carretera pasan en promedio 27 automóviles por hora. ¿Cuál esla probabilidad de que durante la próxima hora el número de autos sea de 24?
Px= x
x! e

= 2724/ 24! e27 = 0.06824 x 100= 6.624%

x= 24
= 27

2.- En una carretera pasan en promedio 27 automóviles por hora. ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos 30 minutos el número de autos sea de 12?
x= 12
= 27 por hora entonces cada media hora es de 13.5.
Px= x
x! e= 13.512/ 12! e13.5 = 0.1048 x 100= 10.48%

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO APROXIMACIÓN A LA BINOMIAL
La distribución de Poisson puede utilizarse para obtener resultados aproximados de una aplicación propia de la distribución binomial, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO:
Una fabrica produce alfileres con 2.5% de defectuosos. Si se toma una muestra de 200 alfileres....