Distribución Gamma

ININ 4020: 24 Agosto 2009 Notes by: María del Mar Ortega

DISTRIBUCIÓN GAMMA (Γ)
*Función Gamma: Para α > 0, la función gamma se define como:

*Algunas propiedades importantes de esta función:1. Para α > 1: 2. Para cualquier entero positivo n: 3. (Integración por partes)

*Decimos que una variable aleatoria x, sigue una distribución gamma si su “PDF” es:

Donde tanto β como α sonpositivos: (β,α) > 0 *Cuando β=1 a esta distribución le llamamos “Gamma Estándar”:

*Valor Esperado: *Varianza: *CASO ESPECIAL: Cuando α=1 la distribución gamma es una exponencial con *Si usamos la gammaestandarizada su función acumulativa “CDF” es:

Usamos tablas, conlleva una integración muy compleja

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PRUEBA CHI-SQUARED “Bondad deAjuste”
*Con esta prueba podemos hipotetizar el fenómeno o sistema bajo estudio puede ser descrito “razonablemente” por alguna de la distribuciones estudiadas (ININ 4010 & ININ 4020). Esto lo hacemos apartir de la toma de datos y de la presunción de cierta distribución. *Estadístico de Prueba:

k = número de celdas consideradas Oi = número de observaciones en la celda i Ei = número esperado deobservaciones en la celda i *Si nuestros datos siguen aproximadamente la distribución hipotetizada este estadístico de prueba será modelado por:

k = número de celdas p = número de parámetrosestimados

EJEMPLO: Se inspeccionaron 50 rollos de tela para encontrar el número de manchas contenidos en cada uno de estos. Cada rollo consistía de 50 yardas de tela, el número de manchas encontradas fue:Numero de manchas 0 1 2 3 Frecuencia 20 12 12 6

*Hipotetizamos: Los datos siguen una distribución Poisson

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*Estimamos λ utilizando unpromedio pesado de los datos: λ = [(20)0 + (12)1 + (12)2 + (6)3] (1/50) = 1.08 *Usamos Poisson para buscar las probabilidades de cada evento y luego calcular su valor esperado:

*Valor Esperado:...