Distribucion de probabilidades

Distribuci´n de probabilidades o
2 de febrero de 2010

Resumen
Considerese una particula que se mueve en el espacio bajo la accioncd de un potencial Para comprender mejor los tipos de variables, es necesario conocer la definici´n de Conjunto discreto. Un conjunto es o discreto si est´ formado por un n´mero finito de ela u ementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo quehaya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y as´ sucesivaı mente. Variable aleatoria: variable que cuantifica los resultados de un experimento aleatorio. Variable que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Categor´ cuantificable que puede ıa tomar diferentes valores cada vez que sucede un experimento o suceso, el valor s´lo se conocer´ detero aministamente una vez acaecido el suceso. La materia manejada por el estad´ ıstico son variables aleatorias o sea fen´menos de inter´s, cuyos resultados (datos) o e observados pueden diferir entre una respuesta y otra. Si Ω es un conjunto, y sus elementos son caracter´ ısticas(por ejemplo: edad, sexo etc.), una variable aleatoria X es una funci´n X : w ∈ Ω → X(w) ∈ Rm . En o realidad son funcionesdeterministicas aunque tengan el nombre aleatorio.

1.

Momentos de la distribuci´n o de probabilidad

La distribuci´n de probabilidad de una variable o aleatoria puede ser descrita por medio de las caracter´ ısticas num´ricas. Todas estas caracter´ e ısticas se expresan a trav´s de una caracter´ e ıstica principal llamada valor esperado o esperanza matem´tica. a La esperanza matem´tica de unavariable aleatoria a (X) discreta se define como: E(X) =
i

xi p(xi )

(1)

y para una variable continua:
∞

E(X) =
−∞

xp(x)dx.

(2)

Hay que tomar en cuenta que E(x) = E(X), lo correcto es E(X), ya que nos estamos refiriendo a la variable aleatoria X. El sentido de esperanza matem´tica es el siguiente. a Esperanza matem´tica es el promedio estad´ a ıstico de los valores posibles deuna variable. Variable aleatoria discreta: una variable aleatoria Propiedades de E(X). es discreta si su conjunto de valores posibles es un conjunto discreto, toma un n´mero finito de valores u 1. numerables. Variable aleatoria continua. Variable que toma un valor infinito de valores no numerables. Una variable aleatoria es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo den´meros; esto es, si para alg´n u u a ≤ b, cualquier n´mero x ∈ (a, b) es posible. u 1
∞

c = cte ⇒ E(c) =
−∞ ∞

cp(x)dx

(3)

c
−∞

p(x)dx =c.

2.
∞

ahora para variables aleatorias continuas se define: E(aX + b) = =a
−∞

(ax + b)p(x)dx
−∞ ∞ ∞

(4) p(x)dx
−∞

µX = E(X − mX )r = Casos particulares 1.

(r)

∞ −∞

(x − mX )r p(x)dx. (12)

xp(x)dx + b

=aE(X) + b. Laesperanza matem´tica de la r-´sima potencia de a e una variable aleatoria se llama r-´simo momento inie cial de la variable X,entonces el r-´simo momento e inicial para variables discretas se define: mX = E(X r ) =
i (r)

µX = E(X − mX )0 = E(1) = 1 2. µX = E(X − mX ) = 0 3.
(1)

(0)

(13)

(14)

xr p(xi ) i

(5)

µX = E(X − mX )2 − muyimportante 4.
(3)

(2)

(15)

y paravariables continuas
(r) mX

= E(X r ) =

∞ −∞

xr p(x)dx.

(6) 5.

µX = E(X − mX )3 µX = E(X − mX )4
(4)

(16)

Casos particulares 1. mX = E(X 0 ) = E(1) = 1
(0)

(17)

(7)

es decir, el momento de orden cero es siempre igual a 1. 2. etc... Ahora consideremos una variable aleatoria X o = X − E(X) = X − mX (9) mX = E(X 1 ) = E(X) = mX
(1)

De estos momentos, una parte muy muyimportante es el momento central de segundo orden, que se llama varianza de la variable X y se denota como V ar(X), entonces la varianza de una variable aleatoria X discreta se define como: V ar(X) = µX =E(X − mX )2 =
i (2)

(8)

(xi − mX )2 p(xi )

(18)

y para variables aleatorias continuas V ar(X) = µX =E(X − mX )2
∞ (2)

Esta variable se llama, variable aleatoria centrada E(X ) = 0...