Distribuciones de probabilidad

1 Variable Aleatoria

Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral ([pic]) de un experimento, un número real.

[pic]

Ejemplo
Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un experimento aleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si un experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, paraobservar el número de caras (C) y cruces (R) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sería:

E = {CCC,CCR,CRC,CRR,RCC,RCR,RRC,RRR}.

En Cálculo de Probabilidades resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente con los elementos de un espacio muestral como el anterior. Así, se prefiere identificar los sucesos {CRR,RCR,RRC} con elvalor numérico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar el experimento.

De este modo, aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como el de una función
X : E R
e X(e)
que a cada suceso elemental e del espacio muestral E, le atribuye un único número real, X(e).
En el ejemplo anterior, se puede definir la variable aleatoria X ≡ número de caras, delsiguiente modo:
X : E R
X (CCR) = X (CRC) = X (RCC) = 2
X (RRC) = X (RCR) = X (CRR) = 1
X (RRR) = 0

En función de los valores que tome la variable, ésta puede ser clasificada en discreta o continua del siguiente modo:

v.a. discreta: es aquella que sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Por ejemplo,
X : E N

v.a. continua: es la que puede tomar un númeroinfinito no numerable de valores.
X : E R

1. Variable aleatoria discreta (X)

Solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:
•x→Variable que nos define el número de alumnos
aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40
alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)
•0≤p (xi) ≤ 1 Las probabilidadesasociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.
•Σp (xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

1.2 Variable aleatoria continua (x).
Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo:
•x→Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …,∞ )
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (X)
•p(x) ≥ 0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valoresmayores o iguales a cero.
•El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.
∞
∫ ƒ(x)dx =1
-∞

1.3 Distribución de probabilidad
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.
Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituyeuna herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
I.- Distribución Bernoulli y la Distribución Binomial.
Una prueba o experimento Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamenteexcluyentes, que generalmente se denotan S (éxito) y F (fracaso). Por ejemplo, al seleccionar un objeto para control de calidad puede ocurrir que sea defectuoso o no lo sea. El espacio muestral
W, de un experimento Bernoulli consta de dos resultados W = { éxito, fracaso}

1 si (w) es éxito
Sea X(w)
0 si (w) es fracaso

Supongamos que p es la probabilidad de observar...