distribuciones estadisticas

Capítulo 3

Modelos de probabilidad
3.1.

Distribuciones de Probabilidad de tipo Discreto

En este capítulo estudiaremos las distribuciones de probabilidad de tipo
discreto más usuales, obteniendo una serie de características y propiedades de
cada una de ellas.

3.1.1.

Distribución uniforme discreta

Definición
Diremos que una variable aleatoria discreta X se distribuyeuniformemente
sobre n puntos x1 , . . . , xn si su función de probabilidad es
½ 1
para i = 1, 2, . . . , n
n
f (xi ) = P (X = xi ) =
0
en otro caso
Obsérvese que la variable aleatoria toma diferentes valores pero siempre con la
misma probabilidad.
Propiedades
1. Función de distribución:
F (x) = P (X ≤ x) =

X

P (X = xi )

xi ≤x

2. Esperanza:
n

1X
xi
E(X) =
n i=1
217

© Elsautors, 2002; © Edicions UPC, 2002

218

CAPÍTULO 3. MODELOS DE PROBABILIDAD
Demostración:
E(X) =

n
X
i=1

xi · P (X = xi ) =

3. Varianza:
n

1X 2
x −
V ar(X) =
n i=1 i

n
X

n

xi ·

i=1

Ã

n

1X
1
xi .
=
n
n i=1

1X
xi
n i=1

!2

Demostración:
!2
n
1X
· P (X = xi ) −
V ar(X) = E(X ) − (E(X)) =
xi
=
n i=1
i=1
à n
!2
!2
à n
n
n
X1X 2
1X
1X
2 1
xi · −
xi
=
x −
xi .
=
n
n i=1
n i=1 i
n i=1
i=1
2

2

n
X

Ã

x2i

4. Función característica:
n

ϕ(t) =

1 X itxi
e
n i=1

Demostración:
ϕ(t) = E(eitX ) =

n
X
i=1

eitxi · P (X = xi ) =

n
X
i=1

n

eitxi ·

1 X itxi
1
e .
=
n
n i=1

5. Función generatriz de momentos:
n

g(t) =

1 X txi
e
n i=1

Demostración:g(t) = E(etX ) =

n
X
i=1

etxi · P (X = xi ) =

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

n
X
i=1

n

etxi ·

1 X txi
1
e .
=
n
n i=1

3.1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO

3.1.2.

219

Distribución de Bernouilli

Definición
A un experimento aleatorio que da lugar únicamente a dos posibles sucesos
que son mutuamente excluyentes y exhaustivos se lellama experimento o prueba
de Bernouilli. A los dos posibles sucesos del experimento se les llama suceso
éxito, A, y suceso fracaso, A. Sea A un suceso de probabilidad p, P (A) = p. Se
dice que una variable aleatoria X es de Bernouilli si
½
0 ω∈A
X(ω) =
1 ω∈A
La función de probabilidad en este caso es: f (0) = q y f (1) = p, siendo q = 1−p.
Decimos que una variable aleatoria X sigue unadistribución de Bernouilli
de parámetro p si su función de probabilidad es
f (x) = P (X = x) = px (1 − p)1−x ,

x = 0, 1.

Decimos en tal caso que X es de tipo B(p).
Propiedades
1. Función de distribución:

2. Esperanza:


si x < 0
 0
1 − p si 0 ≤ x < 1
F (x) = P (X ≤ x) =

1
si x ≥ 1
E(X) = p

Demostración:
E(X) = 1 · p + 0 · (1 − p) = p.

3. Varianza:
V ar(X) = p · qDemostración:
V ar(X) = E[(X − E(X))2 ] = (0 − p)2 q + (1 − p)2 p =
= p2 q + q 2 p = pq(p + q) = pq.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

220

CAPÍTULO 3. MODELOS DE PROBABILIDAD

4. Función característica:
ϕ(t) = q + peit
Demostración:
ϕ(t) = E(eitX ) = eit0 · q + eit·1 p = q + peit .

5. Función generatriz de momentos:
g(t) = q + pet
Demostración:
g(t) = E(etX ) = et0 ·q + et·1 p = q + pet .

Ejemplo
Ejemplo 92 Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida realiza
visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de
su trayectoria como agente que en el 60 % de las visitas tiene éxito y contrata
un seguro. Definir la variable aleatoria asociada a este experimento aleatorio y
obtener la media y varianza.Solución: El experimento aleatorio es realizar la visita a una posible cliente,
y hay dos resultados posibles: conseguir que el cliente contrate el seguro (suceso
éxito) o no conseguirlo (suceso fracaso). La variable aleatoria X asociada al
experimento toma los valores
X
X

= 1 si el cliente contrata el seguro
= 0 si el cliente no contrata el seguro.

Es, por tanto, una variable de tipo...