Distribuciones Muestrales

 DISTRIBUCIONES MUESTRALES, ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPOTESIS

A. Distribuciones Muestrales
De la misma población se pueden tomar muestras diferentes de igual tamaño. La distribución de probabilidad de todos los valores posibles de un indicador dado (Media, proporción, varianza, etc.) de todas las muestras distintas posibles de igual tamaño, se llaman distribución muestral.

Ejemplo: Sea lapoblación “n” conformado por los elementos N = 2, 4, 6, elegir una muestra de tamaño 2 y determinar:
a) La media poblacional, b) La varianza poblacional, c) La distribución de la media muestral (emplea el muestreo con recuperación o reemplazo)

N: 3
x : 2, 4, 6
n : 2

x1 : 2, 2
x2: 2, 4
x3 : 2, 6
x4 : 4, 2
x5 : 4, 4
x6 : 4, 6
x7 : 6, 2
x8 : 6, 4
x9 : 6, 6
1 : 2
2 : 3
3 : 4
4 :3
5 : 4
6 : 5
7 : 4
8 : 5
9 : 6

Muestra
x1
X2

1
2
2
2
2
2
4
3
3
2
6
4
4
4
2
3
5
4
4
4
6
4
6
5
7
6
2
4
8
6
4
5
9
6
6
6





a) Media Poblacional
= u = = x = u = 4

b) Varianza Poblacional
2 =
2 =
2 = 2.67

c) Distribución de la Media muestral : Con tamaño de muestra 2
Media Muestral
N° de Muestral
Probabilidad

fi
f()
21
1/9
3
2
2/9
4
3
3/9
5
2
2/9
6
1
1/9

9
1

El construir una distribución de la media muestral enumerando todas las diferentes muestras posibles es naturalmente un procedimiento inefectivo y a veces hasta imposible por lo tanto es mas conveniente obtener la distribución de estadigráfos muestrales en función de las probabilidades teóricas de todas los resultados muestralesposibles cuando se hacen suposiciones sobre la población.

1) Distribución Muestral de la Media
Media de la V.A. : M
Como la distribución de es una distribución de probabilidades se puede aplicar la noción de esperanza matemática para calcular la media de la nueva variable :

Es decir: E f()



Ejemplo: Hallar la media muestral del ejemplo anterior :
E () = 2 x + 3 x +4 x +6 x
E ()= 4
Pero conocemos u = 4
 E () = u  la medida de la media muestral es igual a la media poblacional

Varianza de la V.A. : 
 = E ( – u)2 ;  = E (2) – [E(x)]2
Donde: E(x2) = u2 f ()

Ejemplo: Hallar la varianza a la nueva variable

E (2) = u2 f ()
= 22 x + 32 x + 42 x +62 x
E (2) = 17.33

 (2) = E (2) – [E(x)]2
 (2) = 17.33 – (4)2
 (2) = 1.33
Podemosafirmar que la varianza de la media muestral es igual a la varianza poblacional sobre el tamaño de muestra :
 (2) =
 Desviación standar x =



 Entonces la nueva variable según el teorema del límite central es:
Z = ; ~ n(0.1) ó Z = ~ n (0, 1)

Ejemplo: Sea x la velocidad de los operadores de una compañía minera, supóngase que la variable x tiene una distribución normal con mediau= 58 palabras y desviación típica  = 16 palabras por minuto. Si se toma una muestra aleatoria de 16 operadores y se le somete a una prueba de velocidad ¿cual es la probabilidad de que la media muestral () este entre 50 y 20 palabras inclusive

Solución:
Sea la V.A.
x = Velocidad de los operadores: x ~ n (58, 162)
X
n = 16
u = 58 p ()
 = 16 p (50  70)
~ n (u,2)
u= u x = =
u= 58 x = 4 ~n (58,16)

 = 16
P
P
P (-2  z  3)

P (-2  z  3) = 0.4772 + 0.4987
P (-2  z  3) = 0.9759
P (50   70) = 0.9759







2) Distribución muestral de la proporción :

Medir la V.P. p: up E (p) = u
Varianza de la V.A.P.: 2p
2p = La nueva variable según el teorema del límite central es :
Z = ~ n (0,1)Z = ~ n (0,1)
Ejemplo: Supongamos que un 10% de los habitantes de una gran ciudad no tiene ocupación. Un grupo encuestadores selecciona 200 personas al azar y les pregunta por quienes votarán en las próximas elecciones municipales ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 15 no tengan ocupación?
Solución:
Sea: ~A
x : Número de habitantes desocupados
X
n = 200
u = 0.1...