Distribuciones

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CENTRO DE ESTUDIOS COENTIFICOS Y TECNOLOGICOS NO. 12
“JOSE MARIA MORELOS”

“PROBABILIDAD Y ESTADISTICA”

DISTRIBUCION DE POISSON Y DISTRIBUCION NORMAL

PROFR: JOSE MARIA RAMIREZ

GRUPO: 6IM13

Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, apartir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
Fue descubierta por Simeón-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).Propiedades
La función de masa de la distribución de Poisson es

Donde:
• k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
• λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
• e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
Ejemplos
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es

Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y θ=0,02.
Procesos de Poisson
Ladistribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:
• El númerode autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
• El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
• El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
• El número de servidores web accedidos por minuto.
• El número de animales muertos encontradospor unidad de longitud de ruta.
• El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
• El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado período en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vida media de la sustancia.
• El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
• La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
• La inventiva de un inventor a lo largo de su carrera.

Distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de...