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EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
Extremos absolutos
Definición:
Sea z = f(x,y) una función de dos variables definida en una región cerrada y acotada S del plano x-y, y (a,b) un punto de S

f(a,b) esmáximo absoluto en S f(a,b) ≥ f(x,y)

f(a,b) es mínimo absoluto en S f(a,b) ≤ f(x,y)




Teorema de los valores extremos
Sea f(x,y) continua en una región S cerrada yacotada del plano x – y
a) Existe al menos un punto en S donde f alcanza un mínimo absoluto
b) Existe al menos un punto en S donde f alcanza un máximo absoluto
Aclaraciones:
Observe que si elextremo absoluto existe, este es único. Pero puede pasar, que lo tome en varios puntos del dominio:


Extremos locales
Definición:
Sea f(x,y) una función definida en una región R que contiene alpunto ( a.b) en su interior
a) f tiene un mínimo local en (a,b) si f(x,y) ≥ f(a,b) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (a,b)
b) f tiene un máximo local en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b)para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (a,b)





Hemos marcado sólo algunos puntos, en los que se observa que hay un máximo local, ya que hay valores de la función que sonmayores. Con los puntos rojos se indican algunos mínimos locales. En el (0,0) habría un máximo absoluto y local
Aclaración:
Si un extremo absoluto se presenta en un punto interior al dominio, es tambiénlocal.



En (0,0) hay un máximo absoluto y local. Ese valor es 1




Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos locales
Si la función z=f(x,y) tiene un extremo local en el punto (a,b) , y en dicho punto existen las derivadas parciales, entonces ambas derivadas parciales son nulas

Demostración:
Intersectamos a la superficie con unplano paralelo al x-z, que contenga al punto (a,b)
La traza de la superficie, con ese plano, es una curva cuya ecuación es f(x,a) = g(x) ( curva negra sobre la superficie)
Como la superficie es...