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Tema I
1.

EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

´
1.1 Los Numeros Naturales. Los n´meros naturales aparecen por la
u
necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar una
cierta cantidad de objetos.
N := {1, 2, 3, . . .}
En los n´meros naturales podemos sumar y multiplicar, pero no podemos, en la
u
mayor´ de los casos, ni restar nidividir.
ıa
Nota: hist´ricamente el cero no es considerado un n´mero natural.
o
u
´
1.2 Propiedades de los Numeros Naturales (Axiomas de Peano).
(1) El 1 es un n´mero natural.
u
(2) Para cada n´mero natural n existe otro n´mero natural n .
u
u
(1) Si n ∈ N, n = 1.
(3) Si n, m ∈ N y n = m , entonces n = m.
(4) Principio de inducci´n matem´tica.
o
a
Si S es un subconjunto de N tal que:
•1∈S y
• si n ∈ S, entonces n ∈ S.
Se tiene que S = N
Nota: Observar que para cada n ∈ N, n no es m´s que n + 1.
a
1.3 Ejemplo. Demuestra que para todo n´mero natural n se verifica que
u
2
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n
Demo: Consideremos el conjunto S de los n´meros naturales para los que la
u
igualdad es cierta. Es claro que 1 ∈ S, ya que 1 = 12 . Supongamos que la
igualdad es ciertapara n, es decir que n ∈ S y veamos que es cierta para n + 1.
Tenemos, por hip´tesis, que
o
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

2

Observar que el siguiente impar de 2n − 1 es 2n + 1, por tanto, si sumamos en
ambos lados de la igualdad 2n + 1 obtenemos
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
es decir, que n + 1 ∈ S. Por tanto aplicando el principio de inducci´nmatem´tica,
o
a
S = N, lo que demuestra que la igualdad es cierta para todo n´mero natura.
u
´
1.4 Principio de induccion generalizado. Sea S un subconjunto de N
tal que:
• 1∈S y
• si 1, 2, . . . , n ∈ S, entonces n + 1 ∈ S.
Entonces S = N
´
1.5 Los Numeros Enteros. Los denotaremos por Z. Aparecen simetrizando el conjunto de n´meros naturales, y a˜adi´ndoles el cero. Obtenemos la
u
ne
mejor´ de que, ahora s´ la resta de dos n´meros Enteros es un n´mero Entero.
ıa
ı,
u
u
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
´
1.6 Propiedades de los Numeros Enteros.
Propiedades respecto de la suma:
• Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)

∀ x, y, z ∈ Z.

• Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x

∀ x ∈ Z.

• Existencia de elemento opuesto: para todox ∈ Z existe −x ∈ Z tal
que x + (−x) = (−x) + x = 0.
• Propiedad conmutativa: x + y = y + x ∀ x, y ∈ Z.
Un conjunto con una operaci´n que verifique las tres primeras propiedades
o
se dice que es un grupo. Si adem´s verifica la cuarta se le denomina grupo
a
abeliano. Por tanto (Z, +) es un grupo abeliano.
Propiedades respecto del producto:
• Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) ∀ x, y, z∈ Z.
• Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x ∀ x ∈ Z.
• Propiedad conmutativa: x y = y x

∀ x, y ∈ Z.

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Nota: Observar que normalmente los elementos de Z no poseen inverso.
Propiedades conjuntas:
• Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z

∀ x, y, z ∈ Z.

Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z ∈ Z
• Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z.
• Si x ≤ y y z ≥ 0,entonces x z ≤ y z.
• Si x ≤ y, y z ≤ 0, entonces x z ≥ y z.
´
1.7 Los Numeros Racionales. Ampliando el conjunto de los n´meros
u
Enteros a los Racionales, Q, conseguimos encontrar inversos respecto del producto
(naturalmente salvo para el cero). Por lo que en Q vamos a poder sumar, restar,
multiplicar y dividir (por n´meros no nulos).
u
Los n´meros Racionales se definen a partir de unarelaci´n de equivalencia en
u
o
∗
∗
el conjunto de los pares (a, b) ∈ Z × Z , en donde Z denota los Enteros menos el
cero. Diremos que dos pares (a, b) y (c, d) est´n relacionados si y s´lo si ad = bc.
a
o
a
La clase de equivalencia del elemento (a, b) se denota por b .
Q := {

a
| a, b ∈ Z, b = 0}
b

Tenemos que la suma y el producto de n´meros naturales es:
u
La suma:

a
b...