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Formulas de Angulo Múltiple
Julio Castiñeira Merino jcastine@boj.cnice.mecd.es A la memoria de mis padres: Julio y Ángeles Este trabajo explica algunas de las propiedades de las fórmulas de ángulo múltiple. En primer lugar expresaremos de forma concisa las fórmulas de ángulo múltiple de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Posteriormente utilizaremos estas fórmulas en algunas temas detrigonometría, álgebra y en geometría. Para la función coseno, las fórmulas de ángulo múltiple se pueden expresar usando los polinomios de Chebyshev [1], [6]. Estos polinomios están definidos por la relación de recurrencia T1 (x ) = x  T0 (x ) = 1,  Tn (x ) = 2 x ⋅ Tn−1 (x ) − Tn−2 (x ) , n ≥ 2 . Los ocho primeros polinomios con sus correspondientes fórmulas de ángulo múltiple son: PolinomioT1 ( x ) = x

T0 (x ) = 1

Fórmula

cos 0 ⋅ a = 1 cos 1 ⋅ a = cos a

T3 ( x ) = 4 x 3 − 3x T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x T6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1

T2 ( x ) = 2 x 2 − 1

cos 2 ⋅ a = 2 cos 2 − 1 cos 3a = 4 cos 3 a ⋅ −3 cos a cos 4a = 8 cos 4 a − cos 2 a + 1 cos 5a = 16 cos 5 a − 20 cos 3 a + 5 cos a cos 6a = 32 cos 6 a − 48 cos 4 a + 18 cos 2 a − 1

T4 ( x ) = 8 x 4 −8 x 2 + 1

T7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x cos 7a = 64 cos 7 a − 112 cos 5 a + 56 cos 3 a − 7 cos a
Observamos que los polinomios de Chebyshev cumplen la propiedad cos na = Tn (cos a ) . Demostración Por inducción sobre n. Para los valores iniciales n = 0 y n = 1 tenemos:

cos 0a = 1 = T0 (cos a ),

cos 1a = cos a = T1 (cos a )
Supongamos que la fórmula es cierta para todovalor de k < n, Aplicando la fórmula de la diferencia de cosenos es decir

cos na − cos(n − 2)a = 2 cos(n − 1)a ⋅ cos a

cos na = 2 cos a ⋅ cos(n − 1)a − cos(n − 2)a
cos(n − 1)a = Tn −1 (cos a ) y cos(n − 2 )a = Tn −2 (cos a ) cos na = 2 cos a ⋅ Tn−1 (cos a ) − Tn−2 (cos a )

por hipótesis de inducción sabemos que Luego

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Sustituyendo x = cos a en la fórmula de recurrencia Tn ( x ) = 2 x⋅ Tn −1 ( x ) − Tn− 2 ( x ) tenemos que

Tn (cos a ) = 2 cos a ⋅ Tn −1 (cos a ) − Tn −2 (cos a ) , cos na = Tn (cos a ) .

por tanto

Observemos que la fórmula anterior también se verifica para valores complejos del argumento, puesto que la fórmula de la diferencia de cosenos es cierta para argumento complejo. Una consecuencia de este hecho es que la fórmula de argumento múltiple para elcoseno hiperbólico es

Ch na = Tn (Ch a )

Ch na = cos ina = Tn (cos ia ) = Tn (Ch a ) . Una propiedad que será utilizada posteriormente es

En efecto

Demostración En efecto

 (− 1)(n−1) 2 ⋅ sen na Tn (sen a ) =   (− 1)n 2 ⋅ cos na 

n impar n par

 π  π    nπ  Tn (sen a ) = Tn  cos − a   = cos n ⋅  − a  = cos − na  ,      2   2  2
como

(−1)(n−1) 2 ⋅ sen na , n impar nπ nπ    nπ , cos cos na + sen sen na =  − na  = cos 2 2  (− 1)n 2 ⋅ cos na ,   2 n par 

la igualdad queda demostrada. Ejercicios 1. Demostrar que el polinomio de Chebyshev tiene grado n y tiene n raíces simples. 2. Demostrar que el polinomio de Chebyshev de grado n es una función par si n es par y es una función impar si n es impar. 3.-Demostrar la propiedadtransitiva de los polinomios de Chebyshev Tn (Tm ( x )) = Tn⋅m ( x ) . Fórmulas para la función seno Derivando la formula cos na = Tn (cos a ) podemos obtener una fórmula de ángulo múltiple para la función seno. En efecto
' − n ⋅ sen na = Tn (cos a ) ⋅ (− sen a )

Es decir

' Tn (cos a ) sen na = sen a ⋅ n ' T (x ) , se le llama polinomio de Chebyshev de segunda clase Al polinomio U n ( x )= ⋅ n +1 n +1

de grado n [6]. Usando estos polinomios la fórmula de ángulo múltiple de la función seno se expresa sen na = sen a ⋅ U n−1 (cos a ) . Análogamente para el seno hiperbólico tenemos la fórmula

Sh na = Sh a ⋅ U n−1 (Ch a )

que se deduce derivando la fórmula de argumento múltiple para el coseno hiperbólico.

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Los siete primeros polinomios de Chebyshev de segunda clase...