Econometria

TEMA 2

EL MODELO LINEAL I

2.1. PRIMERA APROXIMACIÓN:

La regresión lineal es la técnica básica de análisis econométrico. Mediante dicha técnica tratamos de determinar relaciones de dependencia de tipo lineal entre una variable endógena, dependiente o explicada respecto de una o varias variables predeterminadas, independientes o explicativas.

Cuando en un modelo econométricouniecuacional exista una relación lineal entre una variable endógena “Y” y una única variable explicativa “X” estaremos ante el denominado modelo lineal simple (M.L.S.) que podemos escribir de la siguiente forma:

Yi=α+βXi+µi

Si generalizamos este modelo uniecuacional suponiendo que existe una relación lineal entre una variable endógena “Y” y “k-1” variables explicativas (X2, X3, …, Xk) y un término deperturbación estaremos ante el modelo lineal general (M.L.G.):

Yi=β1+β2X2i+β3X3i+…+βkXki+µi

Dada una muestra de “n” observaciones de cada una de las variables tendremos que:

Y1=β1+β2X21+β3X31+…+βkXk1+µ1
Y2=β1+β2X22+β3X32+…+βkXk2+µ2
……
Yn=β1+β2X2n+β3X3n+…+βkXkn+µn

Modelo que se puede formular matricialmente como sigue:

Y1 | | 1 | X21 | X31 | …… | Xk1 | | β1 | | µ1 |
Y2 | |1 | X22 | X32 | …… | Xk2 | | β2 | | µ2 |
…… | = | …… | …… | …… | …… | …… | * | …… | + | …… |
| | | | | | | | | | |
Yn | | 1 | X2n | X3n | …… | Xkn | | βk | | µn |
| | | | | | | | | | |
Y | | X | | β | | µ |

Y= Xβ+µ

Modelo de regresión poblacional

La especificación completa del M.L.G. no incluye solamente la forma de la relación entre las variablessino también la especificación de la distribución de probabilidad de la perturbación, así como una indicación sobre la forma en que se han obtenido los valores de las variables explicativas. Este conjunto de información constituye lo que denominamos hipótesis básicas, las cuales complementan la definición del modelo poblacional.

2.2. HIPÓTESIS DEL MODELO:

- Hipótesis 1: E(µ) = 0. La esperanzamatemática del término de perturbación es 0.

- Hipótesis 2: Var(µ) = E (µµ’) = 2 * I. La varianza del término de perturbación es igual a la esperanza de µ por µ traspuesta, y todo ello es igual a la varianza por la matriz identidad. La matriz de varianzas y covarianzas del término de perturbación es escalar.

| | 1 | 0 | 0 | | | 5 | 0 | 0 | | | 18 | 0 | 0 |
I | = | 0 | 1 | 0 |Diagonal | = | 0 | 43 | 0 | Escalar | = | 0 | 18 | 0 |
| | 0 | 0 | 1 | | | 0 | 0 | 56 | | | 0 | 0 | 18 |

Demostración: Var(µ) = E (µµ’) = 2 * I

| | | | µ1 | | | | | | | | µ1µ1 | µ1µ2 | …… | µ1µn |
| | | | µ2 | | | | | | | | µ2µ1 | µ2µ2 | …… | µ2µn |
2* I | = | E | …… | * | µ1 | µ2 | …… | µn | = | E | …… | …… | …… | …… |
| | | | | | | | | | | || | | |
| | | | µn | | | | | | | | µnµ1 | µnµ2 | …… | µnµn |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | µ12 | µ1µ2 | …… | µ1µn | | E(µ12) | E(µ1µ2) | …… | E(µ1µn) | | 2 | 0 | …… | 0 |
| | µ2µ1 | µ22 | …… | µ2µn | | E(µ2µ1) | E(µ22) | …… | E(µ2µn) | | 0 | 2 | …… | 0 |
= | E | …… | …… | …… | …… | = | …… | …… | …… | …… | = | …… | …… | …… | …… |
| | | || | | | | | | | | | | |
| | µnµ1 | µnµ2 | …… | µn2 | | E(µnµ1) | E(µnµ2) | …… | E(µn2) | | 0 | 0 | …… | 2 |

- Hipótesis 3: Var(µi) = E(µi2) = 2 ∀i. Se deriva de la anterior. Cuando la varianza de las perturbaciones es constante, las perturbaciones es constante, las perturbaciones son homocedásticas (la variable principal de la matriz es un constante).

- Hipótesis 4:Cov(µiµj) = E(µiµj) = 0 ∀i ≠ j. El hecho de que las covarianzas sean iguales a 0, implica que las perturbaciones no están correlacionados.

- Hipótesis 5: µ ∿ N(0, 2 * I). Se deducen de las hipótesis 1 y 2.

2.3. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (M.C.O.). PROPIEDADES:

Uno de los objetivos fundamentales del análisis econométricos es el de obtener...