Ecua 2 2015

ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo # 1

ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER GRADO PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial es un modelo matemático que representa un
fenómeno dinámico (es decir que varía respecto de una variable o varias
variables); la diferencia con las ecuaciones algebraicas y funcionales es que
estas representan solo a fenómenos estáticos por lo cual su solución es un
número o unconjunto de números, mientras que en una ecuación diferencial la
solución es una función (familia de curvas).
Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas
de una función desconocida de una o más variables.
Clasificación: Una ecuación diferencial puede clasificarse de acuerdo a su tipo,
orden y grado.
Por su Tipo: Si la función desconocida depende solo de unavariable (de tal
modo que las derivadas son ordinarias) la ecuación se denomina ecuación
diferencial ordinaria; pero si la función desconocida depende de más de una
variable (de tal modo que las derivadas son parciales) la ecuación se llama
ecuación diferencial parcial.
Por su Orden: Una ecuación diferencial puede ser de primer orden o de orden
n.
Orden de una Ecuación Diferencial: Es el orden de laderivada más alta que
se encuentra en la ecuación.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede expresarse como:
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , 𝒚′′′ , … , 𝒚(𝒏) ) = 𝟎
Si podemos resolver esta ecuación por la derivada más alta, obtenemos una o
más ecuaciones de orden n de la siguiente forma:
𝒚(𝒏) = 𝑭(𝒙 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , … , 𝒚(𝒏−𝟏) , 𝑪)

Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza

Página 1

ECUACIONES DIFERENCIALESPor su Grado: Por el grado las ecuaciones diferenciales podrán ser Lineales
(primer grado) o de grado superior.
Grado de una Ecuación Diferencial: Es el exponente (natural) que presenta la
derivada más alta presente en la ecuación.
Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser
escrita de la forma:
𝒂𝟎 (𝒙)𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏 (𝒙)𝒚(𝒏−𝟏) + ⋯ +𝒂𝒏−𝟏 (𝒙)𝒚′ + 𝒂𝒏 (𝒙)𝒚 = 𝑭(𝒙)
Donde 𝑭(𝒙) y loscoeficientes 𝒂𝟎 (𝒙), 𝒂𝟎 (𝒙), … , 𝒂𝟎 (𝒙) son funciones dadas
de 𝒙 y 𝒂𝟎 (𝒙) no es idéntica a cero. Una ecuación diferencial que no puede
escribirse en la forma anterior se denomina ecuación diferencial no lineal.
Solución de una Ecuación Diferencial: La solución de una ecuación diferencial
es cualquier función que satisface completamente la ecuación, es decir que la
reduce a una identidad.
Nota: Enel caso de una ecuación diferencial ordinaria, la solución puede ser
general (cuando está presente por lo menos una constante) o particular
(cuando la constante está definida).
Condiciones Iniciales: Un problema de valor inicial es aquel que busca
determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre
la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de lavariable
independiente, tales condiciones se denominan condiciones iniciales y se
utilizan para determinar las constantes y de esta forma encontrar la solución
particular de la ecuación diferencial.
Teorema de Existencia y Unicidad de la Solución: Dada la ecuación
diferencial de primer orden 𝒚′ = 𝑭(𝒙, 𝒚), si la función F satisface las siguientes
condiciones:
1. 𝑭(𝒙, 𝒚) es real, finita, simplevalorada y continua en todos los puntos de
una región R del plano xy (que puede contener todos los puntos).
2.

𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚

es real, finita, simple valorada y continua en R.

Entonces existe una y solo una solución 𝒚 = 𝒈(𝒙) en R, tal que 𝒚 = 𝒚𝟎 cuando
𝒙 = 𝒙𝟎 , esto es: 𝒚(𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟎

Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza

Página 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejem. 1 Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales en forma intuitiva
(despejar la derivada)
Ecuaciones de Primer Grado Primer Orden: Se denominan así, aquellas
ecuaciones en las cuales solo se tienen derivadas de primer orden las mismas
que están elevadas a la unidad, por esta razón también se denominan lineales de
primer orden. Para resolver las mismas se disponen de una variedad de
métodos de los cuales los más usuales son los...