Ecuacion de la eslastica en su modo aproximado

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA EN SU MODO APROXIMADO

Cuando una viga con eje longitudinal recto es cargada por fuerzas laterales, el eje se deforma y toma una forma curva, llamada elástica o curva de deflexión.

Deflexión
La deflexión de una viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su posición original, medido en ladirección . La deflexión generalmente se representa por o .

El cálculo de las deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructural; como por ejemplo en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, también son importantes en el análisis dinámico, como en el caso de las vibraciones de aeronaves o las respuestas de edificios a los sismos.

Para la determinación de laecuación de la deflexión, consideremos una viga en voladizo con una carga concentrada que está actuando hacia arriba en el extremo libre (fig. 1-1).

Figura 1 1

Debido a la acción de esta carga, la viga se deforma y toma una forma curva (fig. 1-2). Los ejes de referencia tienen su origen en el empotramiento de la viga, con el eje dirigido a la derecha y el eje lo estará hacia arriba,mientras que el eje apunta hacia fuera de la figura.

Figura 1 2

Las deflexiones se considerarán positivas si estas lo hacen hacia arriba (eje ) o hacia la derecha (eje ).

Para poder obtener la ecuación de la deflexión, se deberá expresar en función de . La deflexión en cualquier punto sobre la curva de deflexión se muestra en la fig. 1-3. Este punto se encuentra a una distancia del origen.Un segundo punto , estará localizado a una distancia del origen. La deflexión en este punto es , donde es el incremento en deflexión conforme nos desplazamos a lo largo de la curva de a (fig.1-4).

Figura 1 3

Figura 1 4

Cuando la viga se flexiona no sólo hay una deflexión en cada punto a lo largo de la viga, sino que además existe una rotación. El ángulo de rotación del eje de la vigaes el ángulo entre el eje y la tangente a la curva de deflexión, en el punto ; y será positivo ya que gira en sentido antihorario.

El ángulo de rotación en el punto es , donde es el incremento angular conforme nos movemos del punto al punto . Se infiere que si se trazan líneas normales a las tangentes, el ángulo que se formaría entre estas normales es ; además, el punto de intersección deestas líneas es el centro de curvatura , y la distancia de a la curva es el radio de curvatura . Por lo tanto, tendremos lo siguiente

Ecuación 1 1

En donde está expresada en radianes, y es la distancia a lo largo de la curva de deflexión entre los puntos y ; por lo tanto, la curvatura está dada por:

Ecuación 1 2

La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada de laexpresión para la deflexión . Geométricamente, la pendiente es el incremento en la deflexión dividido entre el incremento de la distancia a lo largo del eje . Como y son infinitesimalmente pequeños, la pendiente es igual a la tangente del ángulo de rotación . Por lo que tendremos:

Ecuación 1 3

Ecuación 1 4

Las ecuaciones Ec. 1-1 a la Ec. 1-4 se basan sólo en consideraciones geométricas, por loque son válidas para vigas hechas de cualquier material; además de que no hay restricciones sobre las magnitudes de las pendientes y deflexiones.

Debido a que las curvas de deflexión de la mayor parte de las vigas tienen ángulos de rotación, deflexiones y curvaturas muy pequeños, es posible hacer aproximaciones matemáticas que simplifican en gran medida el análisis. Como ejemplo de esto,consideremos la curva de deflexión que se muestra en la figura 1-3, en donde el ángulo de rotación es muy pequeño, por lo que la curva de deflexión es casi horizontal, por lo que la distancia a lo largo de la curva de deflexión es prácticamente igual al incremento a lo largo del eje . En consecuencia obtendremos:

Ecuación 1 5

Con esta aproximación, la curvatura será:

Ecuación 1 6...