Ecuacion Del a Concervacion De La Masa

Ecuación de la conservación de la masa
Consideramos el volumen euleriano, fijo en el espacio, mostrado en la figura:

El elemento diferencial de área es:

Consideremos:* La componente de v que acarrea material a través de la superficie es:

* El flujo de masa a través de un elemento infinitesimal de superficie dS
(Hacia fuera) es:

*el flujo total de masa a través de toda la superficie S es:

Consideremos
* para el elemento de volumen V , con densidad ρ, la masa total en V es:


* la razón decambio de masa en V es:

La razón de cambio de masa dentro del volumen V tiene que deberse al flujo neto de masa a través de S (suponiendo que no hay fuentes ni sumideros dentro de V). Por lo tanto:

Esta es la ecuación de conservación de masa en forma integral. Para convertirla a la forma diferencial utilizaremos el teorema de la divergencia:

Elteorema de la divergencia permite transformar a una integral de superficie en una integral de volumen.

Por lo tanto podemos escribir la ecuación de conservación de masa en formaintegral de la siguiente manera:

Para que esta integral sea cero para cualquier volumen V , la única posibilidad es que el integrando sea cero:

Podemos simplificar laecuación anterior si consideramos que:

Entonces tenemos:

Y con la definición del operador derivada material:

Que es la ecuación de conservación de masa en forma diferencial.Esta ecuación escrita en forma explícita, en coordenadas rectangulares, para v = (u,v,w), es:

Caso especial: fluidoincompresible
Si consideramos el caso en el que la densidad de fluido es constante SI consideramos el caso en que la densidad del fluido es constante (ρ = ρ(x,t)) entonces:

Y