Ecuacion Diferencial Lineal Y De Bernoulli

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal esque no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces laecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de granayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden,formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo
Caso general
Si se descuentan los casosparticulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

Ecuación ala cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, lasfunciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuyasolución viene dada por:

Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:

Ejemplo:
Para resolver la ecuación:

Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) dasimplemente:

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:

Si se sustituye en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse...