Ecuaciones 2

Breve historia de las ecuaciones diferenciales

Estas notas pretenden mostrar una breve
historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha
pretendido dar m´as ´enfasis a las ideas que a
las biograf´ıas de los matem´aticos creadores de
la teor´ıa. En la siguiente direcci´on
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk
se halla una colecci´on de biograf´ıas de los
matem´aticos m´as famosos.
La mayor parte deestas notas hist´oricas
est´a sacadas de [1].

✻

ds

dy

dx
✲

Figura 1: El tri´angulo caracter´ıstico.
En 1690, Jacques Bernouilli plante´o el problema de encontrar la curva que adopta una
cuerda flexible, inextensible y colgada de dos
puntos fijos, que Leibniz llam´o catenaria (del
lat´ın cadena). Galileo pens´o que esta curva era una par´abola, mientras que Huygens
prob´o que esto no eracorrecto.

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden
Los primeros intentos para resolver problemas f´ısicos mediante el c´alculo diferencial a
finales del siglo XVII llevaron gradualmente
a crear una nueva rama de las matem´aticas,
a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales
se convirtieron en una rama independiente y
su resoluci´on un fin en s´ı mismo.Ya Newton (los creadores del c´alculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observ´o que si dn y/dxn = 0, entonces y(x) es
un polinomio de grado n − 1, en particular, y
depende de n constantes arbitrarias, aunque
esta afirmaci´on tuvo que esperar hasta el siglo
XIX para poder ser demostrada con rigor (la
demostraci´on est´andar actual usa el teorema
del valor medio). Los matem´aticos de la ´epocacon frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si
y(t) denota la posici´on en el tiempo t de una
part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si
dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es
decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´on,
por tanto, permanece constante.
En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de
ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜
no,
Leibniz dice que las ecuacionesdiferenciales
son funciones de elementos del tri´angulo caracter´ıstico.

✻

❝
❝

a

b

✲

Figura 2: Una catenaria.
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de
Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mec´anica:
Consideremos un cable homog´eneo sujeto
por sus dos extremos (que suponemos a la
misma altura) y que distan 2a uno del otro
ysea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la
funci´on que describe la posici´on del cable. Por
conveniencia se asumir´a que la altura m´ınima
del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,
y (0) = 0).
1

a

✻

s

A partir de ahora, denotaremos c = gρ/ T0 .
Como (v´ease la figura 1)

s

dy/dx = tan θ,
y
T0 ✛

✑
✸
✑ T
✑

❝✑

si derivamos (respecto a x) la ecuaci´on (1), se
obtiene

❝ ✑
✑
✑

✑θ

x(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,

✲

d2 y
=c
dx2

(dx)2 + (dy)2
.
dx

O escrito de otro modo,
Figura 3: Deducci´on de la ecuaci´on de la catenaria.

d2 y
=c 1+
dx2

dy
dx

2

.

Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por
Por supuesto, esto es una ecuaci´on de segundo
conveniencia lo situamos en el tramo positivo
orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se
de las x; en otro caso, el razonamiento escomconvierte en
pletamente igual) y pensemos en las fuerzas
dv
que act´
uan en el trozo de cable desde el pun= c 1 + v2.
(2)
dx
to de altura m´ınima hasta (x, y):
Problema 1: Resuelva la ecuaci´on (2). Use
El peso P. Si m es la masa y s es la lon- ahora y (0) = 0 para deducir que la ecuaci´on de
gitud del trozo considerado del cable, se la catenaria es
tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs),
1
dondeg es la aceleraci´on terrestre.
y(x) = cosh(cx) + B,
(3)
c
La fuerza T0 que ejerce la parte izquierda donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´e sigdel cable sobre el punto de altura m´ıni- nificado f´ısico o geom´etrico posee B?
ma. Se tiene T0 = (− T0 , 0)
El siguiente problema propone otra manera
La fuerza T que ejerce la parte derecha de resolver la ecuaci´on (2) usando la teor´ıa
del cable...