ecuaciones dif 2
Páginas: 3 (521 palabras)
Publicado: 14 de agosto de 2015
Deducción del método de variación de parámetros
Presentemos un método que permite encontrar una solución particular a la ecuación diferencial de segundo orden, en su forma reducida.
Siempre ycuando se conozca un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación homogénea asociada
En cierto intervalo I. La idea central del método es investigar la existencia de una posible soluciónparticular de la ecuación ( que sea de la forma
Donde y son como se dijo soluciones linealmente independientes de
), y son funciones por determinar (derivables dos veces sobre I). Calculando laprimera y segunda derivada de
Sustituyendo en la ecuación tenemos:
Agrupando términos
Pero por hipótesis tanto como son soluciones de ecuación homogénea , por lo tanto las expresionesentre los paréntesis son iguales a cero y obtenemos:
Al reescribirla de la forma
O lo que es igual a, imponiendo la condición de :
Entonces nos queda expresado de la siguiente manera:
Locual es un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las funciones y (las derivadas de y ). Resolviendo por la regla de Cramer encontramos
Siendo W(x) el wronskiano de las funciones y1, y2.Esto produce:
De donde se obtiene la solución particular deseada como La validez del proceso anterior requiere que y sean dos veces derivables en I, lo cual se satisface siempre y cuando eltermino independiente f sea derivable sobre I.
El método que acabamos de describir para las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden, se puede generalizar a ecuaciones lineales de ordenn escritas en su forma estándar
Por tanto
En que las , k= 1, 2,. . ., n están determinadas por las n ecuaciones
Interpretación de los resultados
El método de variación de parámetrostiene una clara ventaja sobre el de los coeficientes indeterminados, porque siempre llega a una solución particular, cuando se puede resolver la ecuación homogénea relacionada. Este método no se...
Presentemos un método que permite encontrar una solución particular a la ecuación diferencial de segundo orden, en su forma reducida.
Siempre ycuando se conozca un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación homogénea asociada
En cierto intervalo I. La idea central del método es investigar la existencia de una posible soluciónparticular de la ecuación ( que sea de la forma
Donde y son como se dijo soluciones linealmente independientes de
), y son funciones por determinar (derivables dos veces sobre I). Calculando laprimera y segunda derivada de
Sustituyendo en la ecuación tenemos:
Agrupando términos
Pero por hipótesis tanto como son soluciones de ecuación homogénea , por lo tanto las expresionesentre los paréntesis son iguales a cero y obtenemos:
Al reescribirla de la forma
O lo que es igual a, imponiendo la condición de :
Entonces nos queda expresado de la siguiente manera:
Locual es un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las funciones y (las derivadas de y ). Resolviendo por la regla de Cramer encontramos
Siendo W(x) el wronskiano de las funciones y1, y2.Esto produce:
De donde se obtiene la solución particular deseada como La validez del proceso anterior requiere que y sean dos veces derivables en I, lo cual se satisface siempre y cuando eltermino independiente f sea derivable sobre I.
El método que acabamos de describir para las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden, se puede generalizar a ecuaciones lineales de ordenn escritas en su forma estándar
Por tanto
En que las , k= 1, 2,. . ., n están determinadas por las n ecuaciones
Interpretación de los resultados
El método de variación de parámetrostiene una clara ventaja sobre el de los coeficientes indeterminados, porque siempre llega a una solución particular, cuando se puede resolver la ecuación homogénea relacionada. Este método no se...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.