Ecuaciones Algebraicas

Universidad de la Frontera

1

Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica
Cl´
ınica de Matem´tica
a

Ecuaciones Algebraicas
J. Labrin - G.Riquelme

Productos Notables:
1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

3. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

2. (a + b) · (a − b) = a2 − b2

4. (a − b)3 = a3 − 3a2 b − 3ab2 − b3

1. Resuelva
9x − 12 − (2x + 3) − (3x − 4) = 9
Soluci´n
oResolviendo algebraicamente:
9x − 12 − (2x + 3) − (3x − 4) = 9

9x − 12 − 2x − 3 − 3x + 4 = 9/ + 12 + 3 − 4
9x − 2x − 3x = 9 + 12 + 3 − 4
4x = 20
x=5

2. Encuentre el valor de x
(x + 5)(x − 3) = (x − 8)(x + 1)
Soluci´n
o
Multiplicando t´rmino a t´rmino y posteriormente desarrolando algebraicamente:
e
e

2

(x + 5)(x − 3) = (x − 8)(x + 1)

x − 3x + 5x − 15 = x2 + x − 8x − 8

x2 + 2x −15 = x2 − 7x − 8/ − x2 + 7x + 15
9x = 7
7
x=
9

1

3. Resuleva
2(3m − 1)2 + (3m − 1) = 1
Soluci´n
o

2(3m − 1)2 + (3m − 1) = 1

2(9m2 − 6m + 1) + 3m − 1 = 1

por propiedad (1)

18m2 − 12m + 2 + 3m − 1 = 1

18m2 − 9m + 1 = 1/ − 1
18m2 − 9m = 0

Hemos llegado a la expresi´n: 18m2 − 9m = 0, factorizamos por x y obtendremos dos soluciones:
o
m(18m − 9) = 0
m=0
18m − 3 ⇒18m = 9 ⇒ m =

1
9
⇒m=
18
2

4. Encuentre las soluciones de x
u4 + 5u3 = −6u2
Soluci´n
o
u4 + 5u3 = −6u2 / + 6u2

u4 + 5u3 + 6u2 = 0
u2 (u2 + 5u + 6) = 0
u=0

u2 + 5u + 6 = 0 ⇒ (u + 2)(u + 3) = 0 ⇒ u = −2, u = −3
5. Resolver la ecuaci´n
o
6x − 10 = 2(4x − 6) + 10
Pasos a seguir:
Utilizando la propiedad distributiva se tiene
6x − 10 = 8x − 12 + 10
Sumamos el inverso aditivode 8x y −10 y reduciendo t´rminos semejante se obtiene
e
−2x = 8
1
Multiplicando por − 2 ambas partes de la igualdad se obtiene

x = −4

2

6. Resolvamos la ecuaci´n fraccionaria
o
x2 − 3
2x − 1 x + 3
−
=2
, con x = −2 y x = 5
x+2
x−5
x − 3x − 10
Soluci´n:
o
Factorizando los denominadores y multiplicando por el MCM que es (x + 2)(x − 5) obtenemos:
(2x − 1)(x − 5) − (x +3)(x + 2) = x2 − 3

2x2 − 10x − x + 5 − x2 − 5x − 6 = x2 − 3

−16x = −3 − 5 + 6
−2
x=
−16
1
x=
8

7. Resolvamos la siguiente ecuaci´n exponencial:
o
42x−1 = 28−x
Soluci´n
o
Igualando bases:
2x−1

(22 )

= 28−x

22(2x−1) = 28−x
24x−2 = 28−x
Luego igualamos los exponentes:
4x − 2 = 8 − x
5x

= 10

x

=2

De este modo la soluci´n es x = 2.
o
8. Resolvamos lasiguiente ecuaci´n exponencial :
o
2
3

4x−3

Soluci´n
o

3

=

81
16

−x+5

Igualando bases usando propiedades de potencias:
2
3

4x−3

2
3

4x−3

2
3

4x−3

=

16
81

=

2
3

=

2
3

−1(−x+5)
4 5−x

4(5−x)

Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales, de esta manera se obtiene se obtiene:

4x − 3 = 20 − 4x
23
x=
8
9.Resolvamos la siguiente ecuaci´n exponencial :
o
2x+1 + 2x + 2x−1 = 28
Soluci´n
o
Factorizando por 2x

2 · 2x + 2x + 2−1 · 2x = 28

2x (2 + 1 + 2−1 ) = 28
7
2x ·
= 28
2
2x = 28 ·
2x = 8
2x = 23

Al igualar bases se tiene que:
x=3
10. Resolvamos la ecuaci´n exponencial
o
2 − 3−x + 3x+1 = 0
Soluci´n
o

Ordenando los t´rminos:
e
3 · 3x − (3x )−1 + 2 = 0

4

2
7

Hacemosla sustituci´n 3x = t, ∀x ∈ R, t = 0
o
2−

1
+ 3t = 0
t

Multiplicando la ecuaci´n anterior por t:
o
2t − 1 + 3t2 = 0

(3t − 1)(t + 1) = 0

3t − 1 = 0 ∨ t + 1 = 0
1
t=
∨ t = −1
3

Si t = −1 =⇒ 3x = −1 =⇒ No existe soluci´n.
o
11. Resuelva

8
9
1
31 − 7x
7
−
+
−=
2x 3x 4x 3
6x

Soluci´n
o
Primero multiplicamos por el minimo com´n m´ltiplo de los denominadores
uu
M CM (2x, 3x, 4x, 3, 6x) = 12x
8
9
1
31 − 7x
7
−
+
−=
2x 3x 4x 3
6x
42 − 32 + 27 − 4x = 62 − 14x

14x − 4x = 62 − 42 + 32 − 27
10x = 25
5
x=
2

12. Resolveremos la ecuaci´n x2 − 3x + 2 = 0 aplicando la formula cuadr´tica y factorizando
o
a
Soluci´n
o

Utilizando la formula, con a = 1, b = −3 y c = 2:
√
3± 9−4·1·2
x=
2·1
√
3± 9−8
x=
2
3+1
x1 =
2
3−1
x2 =...