Ecuaciones Con Valor Absoluto

Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor Absoluto


La resolución de ecuaciones y de desigualdades de primer grado con valor absoluto, requiere de dos procedimientos (Caso 1 y Caso 2), enque se utilizan las mismas leyes de una ecuación y de una inecuación lineal normal.

Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real x se denota por |x| y se define como sigue:                  x,si x ≥ 0
|x| =     {
                −x, si x < 0
Veremos ahora unos teoremas que nos servirán para resolver las ecuaciones.

Teorema 1: Para cualquier numero real x:1. |x| ≥ 0

2. |x| = 0 ←→ x = 0

3. |x|²   = x²
        ___
4.√x² = |x|

5. −|x| ≤ x ≤ |x|

Teorema 2: Para cualquieras números reales x y a:
                            a ≥ 0
|x| = a ←→    {         y
                            x = a y/o x = −a

Teorema 3: Para cualquieras números reales x y a:

|x| = |a| ←→ ( x = a   y/o   x = −a)

Teorema 4: Para cualquieras númerosreales x y a:

1. |x| ≤ a ←→ −a ≤ x ≤ a

2. |x| ≥ a ←→ x ≤ −a ∨ a ≤ x

Teorema 5: Para cualquieras números reales x y a:

1. |x + a| ≤ |x| + |a|

2. |x · a| = |x| · |a|

Ejemplo 1:Resolver la ecuación |x − 8| = 12.
Solución: por el Teorema 2, la primera desigualdad es obvia (12 ≥ 0). Por la segunda desigualdad
tenemos dos casos para analizar

Caso 1:
Si x − 8 < 0 entonces, |x− 8| =−(x − 8).
        x-8=12
          x=12+8
          x=20
Caso 2:
Si x − 8 < 0 entonces, |x − 8| =−(x − 8).
    -( x-8 )=12
          x-8=-12
          x   =-12+8
              x=-4Ahora bien la solución; S= {x/ |x − 8| = 12 } = {-4,20}

Ejemplo 2: Resolver la ecuación: |2x + 1| = x + 3.
Solución: por el Teorema 2, tenemos las siguientes opciones.

                                   x + 3 ≥ 0
|2x + 1| = x + 3 ←→ {     y
                                    2x + 1 = x + 3 y/o 2x + 1 = −(x + 3)
Por la primera desigualdad, claramente x tiene que ser mayor...