Ecuaciones De La Recta

Pendiente de una Recta
En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el volor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.
La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 ycoeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.
En la ecuación general dela recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal.
Ax + By + C = 0
Ax + By = -C
By = -Ax - C
y = 
y = 
donde se demuestran los valores de m y n antes dado.
Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?
m = 

n = 
 La fórmulaPunto-Pendiente de la ecuación de la recta
Se estudiarán rectas que no son paralelas al eje Y, con pendiente m, y que pasan por un
punto P1(x1, y1) . Cualquier otro punto P de la recta lo denominaremos P(x, y) .
La pendiente de la recta que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

La ecuación Punto- Pendiente es: y – y1 = m(x – x1).
Ejemplo 1
Hallar la ecuación de larecta que pasa por el punto (-4, 3) con pendiente –1.
Solución: La ecuación punto- pendiente es y – 3 = -1(x – (-4)).
⇒ y - 3 = -x – 4. ⇒ y = -x - 1
Problema 1
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) con pendiente 2.
Problema 2

Halle la ecuación de la recta que pasa por (2, -9) con pendiente 12
Respuesta: y = 12 x-10Ejemplo 2
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos(-4, 3) and (2, -5).
Solution: m=y2-y1x2-x1= m=-5-(3)2-(-4) - 86 = - 43
Por la ecuación punto- pendiente (y – 3) = - 43 (x+4). Luego y - 43 x- 73

ECUACION EN SU FORMA PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN
Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro puntode la recta como se indica en la figura:


Aplicamos la fórmula de la pendiente: 

Despejando y tendremos la ecuación de la recta de pendiente-ordenada en el origen (intersección).
y = mx + b

ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ellotomemos un tercer punto R(x,y), también pertenciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
    y    
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo:
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)

y - 2 = x - 1
x - y + 1 = 0
 Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen |
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Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación  con el eje x (fig. 4.6.) |

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Fig. 4.6Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 sonsemejantes; se tiene que: Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1) 
 La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.  |




Ecuación general de la linea recta |
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La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en...