Ecuaciones de orden superior con valores en la frontera y valor inical

Ecuaciones de orden superior
Tienen la forma:


Ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial
Definición: Consiste en encontrar una solución de dicha ecuación diferencial en un intervaloI, que satisfaga en el punto x0 de I la n condiciones siguientes:
y(x0)=y0
y’(x0)=y1
y’’(x0)=y2
yn-1(x0)=yn-1
A estas se les conoce como funciones mono paramétricas esto quiere decir que depende deun parámetro de un número y por cada parámetro tiene una solución.
y(x0)=y0 , y’(x0)=y1, y’’(x0)=y2, yn-1(x0)=yn-1 se llaman condiciones iniciales.

Se deben cumplir tres condiciones para que unaecuación sea única en el problema:
1) Todas las funciones deben de estar evaluadas en el mismo punto
2) Todas las funciones de x que están multiplicando a las derivadas tienen que ser continuas en elintervalo donde estamos evaluando.
3) Garantizar que an≠0 para toda x en ese invertalo.
Ejemplo #1

y’’ -4y=12x y=3e2x + e-2x-3xy’=6e2x -2 e-2x-3
y(0)=4 y’’=12e2x +4 e-2x

y’(0)=1

y’’ -4y=12x

12e2x +4 e-2x -4(3e2x + e-2x-3x=12x
12e2x +4e-2x-12e2x -4 e-2x +12x=12x
12x=12x

Ahora tenemos que probar con las condiciones iniciales

y=3e2x + e-2x-3x
4=3e2 (0) + e-2(0)-3(0)
4=3+1-0
4=4

y’=6e2x-2 e-2x-3
1=6e2 (0) -2 e-2 (0)-3
1=6(1)-2(1)-3
1=1

Por lo tanto se cumplen las tres características y tiene una única solución





Ejemplo #2
X2 y’’-2xy’+2y=6 y=cx2+x+3
y’=2cx+1
Y’’=2c




X2 y’’-2xy’+2y=6
X2 (2c)-2x(2cx+1)+2(cx2 +x+3 )=6
2cx2-4cx2-2x +2cx2 +2x+6= 6
6=6

Ahora tenemos que probar con las condiciones iniciales:

y=cx2 +x+3
3=c(0)2 +0+3
3=3

y’=2cx+1...