Ecuaciones de segundo grado y una inc gnita

 

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita 
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja 
con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada ​
incógnita​
, que suele ser la ​
x​
. 
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que 
sea cierta la igualdad. 
Ese valor es la ​solución​
 de la ecuación. 
Ejemplo: Resolver la ecuación   ​
 x − 1 = 0 
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que ​
1 – 1 = 0​
, por lo tanto, 1 es la solución de 
la ecuación. 
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ​
ecuación de segundo 
grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas)​
, que se caracterizan porque pueden tener ​
dos soluciones ​
(aunque también una sola, e incluso ninguna). 
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: 
2​
                                ​
 ax​
 + bx + c = 0 

Donde ​
a​
, ​
b​
 y ​
c​
 son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en 
cada caso particular. 
  

Solución de ecuaciones cuadráticas 
2​Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ​
ax​
 + bx + c = 0​
, donde  ​
a, b​
, 
y ​
c​
 son números reales.  
   
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas: 

Ejemplos: 
2​
9x​
 + 6x + 10 = 0        ​
a​
 = 9, ​
b​
 = 6, ​
c​
 = 10 
2​
3x​
  – 9x  ​
+ 0​
  = 0        ​
a​
 = 3, ​
b​
 = –9, ​
c = 0​
  (el cero, ​
la c​
, no se escribe, no está) 
2​
–6x​
 ​
+ 0x​ + 10 = 0       ​
a​
 = ­6, ​
b = 0​
, c = 10 (el cero equis, ​
la b​
, no se escribe) 
2​
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ​
ax​
 + bx + c = 0​
 (o cualquiera de las formas mostradas), 
puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:   
   
Solución por factorización 

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un 
producto de binomios. 
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de ​
x​
 de cada uno. 
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que 
sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. 
Ejemplos 1) Resolver 
(x + 3)(2x − 1) = 9 
Lo primero es igualar la ecuación a cero. 
Para hacerlo, multiplicamos los binomios: 

 

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Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: 

 
Ahora podemos factorizar esta ecuación: 
(2x − 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas: 
Si 
2x − 3 = 0 
2x = 3 

 
Si 
x + 4 = 0 
x​
 = −4 
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas: 
(x + 3)(2x − 1) = 9 
2​
2x​
 + 5x − 12 = 0 
2​
2x​
 + 5x = 12 
2​
2x​
 − 12 = − 5x 

En todos los casos la solución por factorización es la misma: 
  
2) Halle las soluciones de 
 La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver 
en términos de ​
x​
: 

 
Ahora, si 
x = 0 
o si 
x− 4 = 0 
x = 4 
Algunos ejercicios: ​
Resolver cada ecuación por el método de factorización: 

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Soluciones: 

 
 
Solución por completación de cuadrados 
Se llama método de la ​
completación de cuadrados​
 porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la 
transforman en una ecuación del tipo: 
2​
(ax + b)​
 = n 
2​
en la cual el primer miembro de la ecuación ​
(ax + b)​
, es el ​
cuadrado de la suma de un binomio​
. 

Partiendo de una ecuación del tipo 
2​
x​
 + bx + c = 0 
 
por ejemplo, la ecuación 
2​
x​
 + 8x = 48​...