Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas
Al tratar con polinomios de más de una variable, se define el grado de cada término como la suma de los grados de sus variables. 1. Consideremos la función de dos variables x, y: Observamos que: F .x; y/ D 2x 2 y xy 2 C 4y 3 .

a. Todos los términos tienen el mismo grado 3. b. Si multiplicamosambas variables por el mismo factor t es posible factorizar t 3 , es decir: F .tx; ty/ D 2.tx/2 .ty/ .tx/.ty/2 C 4.ty/3 D 2t 3 x 2y t 3 xy 2 C 4t 3 y 3 D t 3 .2x 2 y xy 2 C 4y 3 / D

D t 3 F .x; y/ :

c. Es posible factorizar x 3 : F .x; y/ D 2x 2 y xy 2 C 4y 3 D x 3 2 y x : y x y x
2

C4

y x

3

D

D x 3 F 1; d. Es posible factorizar y 3 : F .x; y/ D 2x 2y D y3F
1 canek.azc.uam.mx:xy 2 C 4y 3 D y 3 2 x ;1 y :

x y

2

x y

C4 D

14/ 1/ 2010

1

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias xy 2 C 4y 3 D 2x 2 y xy 2 C 4y 3
1 3.

2. Sea ahora la función de dos variables x, y: G.x; y/ D Observamos que:

3

2x 2 y

a. Los términos del polinomio dentro de la raíz cubica tienen el mismo grado 3. b. Si multiplicamos ambas variables por el mismo factor t esposible factorizar t, es decir: G.tx; ty/ D
3

2.tx/2 .ty/

D 3 t 3 .2x 2 y D tG.x; y/ :

.tx/.ty/2 C 4.ty/3 D 3 2t 3 x 2 y t 3 xy 2 C 4t 3 y 3 D p 3 xy 2 C 4y 3 / D t 3 3 2x 2 y xy 2 C 4y 3 D

c. Es posible factorizar x: G.x; y/ D
3

2x 2 y y x

xy 2 C 4y 3 D :

3

x3 2

y x

y x

2

C4

y x

3

Dx

3

2

y x

y x

2

C4

y x

3

D

D xG 1;

d.Es posible factorizar y:
3

G.x; y/ D

2x 2 y x ;1 y

xy 2 C 4y 3 D :

3

y3 2

x y

2

x y

C4 Dy

3

2

x y

2

x y

C4 D

D yG

La siguiente definición generaliza las propiedades antes referidas: Una funcion F .x; y/ es una función homogénea de grado n si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: 1. F .tx; ty/ D t n F .x; y/. y 2. F .x; y/ Dx n F 1; . x x 3. F .x; y/ D y n F ;1 . y De acuerdo a esta definición tenemos que: La función F .x; y/ D 2x 2 y xy 2 C 4y 3 es homogénea de grado 3. La función G.x; y/ D
3

2x 2 y

xy 2 C 4y 3 es homogénea de grado 1.

Para demostrar que una función de dos variables es homogénea de grado n sólo es necesario demostrar una de las condiciones. Se acostumbra demostrar la primera condición.Ejemplo 2.5.1 Comprobar que la función H.x; y/ D H H.tx; ty/ D
5 5 5

x 2 C xy es homogénea.
5

2

.tx/2 C .tx/.ty/ D
5

D t5

x 2 C xy D t 5 H.x; y/ : 2 . 5

2

t 2 x 2 C t 2 xy D

t 2 .x 2 C xy/ D

p 5 t2

5

x 2 C xy D

Vemos que H.x; y/ es una función homogénea de dos variables de grado n D

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas x2 y2 y3 x3

3

Ejemplo 2.5.2Verificar que la función K.x; y/ D cos H K.tx; ty/ D cos D cos

C sen

es homogénea de grado 0.

.tx/2 .ty/3 C sen .ty/2 .tx/3 x2 y3 C sen D 2 y x3

D cos

t 2x2 t 2y2

C sen

t 3y3 t 3x3

D

D K.x; y/ D t 0 K.x; y/ : Ejemplo 2.5.3 Comprobar que D.x; y/ D x C y H 1 no es una función homogénea.

Vamos a suponer que D.x; y/ es homogénea, es decir, que cumple con: D.tx; ty/ D t nD.x; y/ para todo t; x & y 2 R y para algún n :

Tenemos entonces que tx C ty 1 D t n .x C y 1/. Evaluando de manera arbitraria en x D 1, y D 2 se tiene: 3t Evaluando para t D 0 se tiene: 1 D 2t n : 1 D 0:

Los resultados anteriores nos proporcionan una contradicción. Por lo que tiene que ser falso lo que hemos supuesto. Por lo anterior se concluye que D.x; y/ no es homogénea.

La ecuacióndiferencial M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 : es homogénea si ambas funciones M.x; y/ y N.x; y/ son homogéneas del mismo grado n.

Ejemplo 2.5.4 Verificar que la ecuación diferencial .x H M.x; y/ D x

y/ dx C . 2x C y/ dy D 0 es homogénea de grado 1.

y es una función homogénea de grado 1.

N.x; y/ D 2x C y es una función homogénea de grado 1. Ambas funciones son homogéneas del mismo grado. Por...