03 Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

MATEMÁTICA IV.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
ECUACIONES HOMOGÉNEAS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones homogéneas.

1.6.- ECUACIONES HOMOGÉNEAS.
Funciones homogéneas.
Definición de función homogénea.
Se dice que f (x, y) es una función homogénea de grado n, si para algún número real n,

f (t x, t y)  t n f ( x, y) .
Determine si la función dada es homogénea. Si lo es, indique su grado de homogeneidad.
1. x 2  x y
4. x y  3 x  2 y
2

7.

10.

xy
x  y2

2. x 2 y  4 x 3  3 x y 2

3. x 3  4 x y 2  y 3

y3
5. x  2 x y 
x

x3 y  x2 y 2
6.
x 8 y

2

xy
x  y2

8.

x3y
2 xy

9.

2

11.

xy

x  y (4 x 3 y )

12. x  y sen

x2  y2

y
x

14. x sen y  y sen x

 x2 

15. cos 
 x y

16. tan ( x  y)

17. sen 1 ( x y)

18. tan

 y
 y
19. y cos    x sen  
x
x

20.

13. x  y cos

22. 2 ln

y
x

x
y

 y
x 2  y 2  y sen 1   21.
x

x2  2 x y  3 y2

24. ln x 2  2 ln y

23. ln x  ln y

y

x

25. 2 ln x y

y
x

x

27. x e x  y e y

26. 3 e y

Ecuacionesdiferenciales homogéneas. Si una ecuación en la forma diferencial
M ( x, y) d x  N ( x, y) d y  0

tiene

la

propiedad

que

M (t x, t y)  t n M ( x, y)

y

N (t x, t y)  t n N ( x, y) se dice que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación
homogénea.

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http://www.slideshare.net/asesoracademico/

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Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.Ecuaciones homogéneas.

Paso de una ecuación diferencial homogénea a una de variables separables.
dy
1. Si f es homogénea de grado cero, la ecuación diferencial
 f ( x, y ) puede ser
dx
transformada en una ecuación cuyas variables son separables haciendo u 
y ux y

y
. Tendremos
x

dy
du
.
ux
dx
dx

Con el cambio de variables indicado se logra reducir la ecuación diferencial a la forma
dx
 g (u) d u , cuya solución general es
x



dx
  g (u ) d u
x

Resuelva la ecuación diferencial usando una sustitución apropiada.
28.

dy
y
 1
dx
x

29.

d y y y2
 
, y (1)  1
d x x x2

30.

d y 2x5y

d x 2x y

31.

d y x2  y2

dx
x2

2
2
d y 2y x  y

33.
dx
2x

d y 6 x2  5 x y  2 y2

32.
dx
6 x2  8 x y  y2
34.

dy

dx

36. y  

x2  y2
x

35.

y
y
 sec 2
x
x

dy

dx

x y x y

x y 

x y

37. x y  2 x  3 y

38. x 2 y   4 x 2  7 x y  2 y 2

39. x y   y 

40*. x y  

y2  x2  y

41*. x y  

42*. x y  

x2  y2  y

43. y y   x 

x2  y2
x2  y2  y
x2  y2

y

44. x y   y  x e x
[Sugerencias:

1. Para la ecuación (43) existe un factor integrante por inspección.
2. Las ecuaciones (28) y (37) son lineales.
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Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones homogéneas.

3. La ecuación (29) es una ecuación de Bernoulli.]
2. Si tanto M como N son homogéneas del mismo grado, la ecuación diferencial
M ( x, y) d x  N ( x, y) d y  0 puede transformarse en una ecuación cuyas variables son

separables, haciendo u 

y
. Se tendrá y  u x y d y u d x  x d u .
x

Resuelva la ecuación diferencial usando una sustitución apropiada.
45. ( x  y) d x  x d y  0

46. ( x  y) d x  x d y  0

47. ( x  y) d x  ( x  y) d y  0

48. ( x  y) d x  ( x  2 y) d y  0 , y (2)  3

49. ( x  4 y) d x  (3 x  2 y) d y  0

50. ( x  2 y) d x  (2 x  y) d y  0

51. ( x  2 y) d x  (2 x  y) d y  0

52. ( y 2  y x) d x  x 2 d y  0

53. ( x2  y 2 ) d x  x y d y  0

54. ( x 2  y 2 ) d x  x y d y  0

55. 2 (2 x 2  y 2 ) d x  x y d y  0

56. ( x 2  y 2 ) d x  2 x y d y  0

57. ( x 2  x y  y 2 ) d x  x y d y  0

58. ( y 2  2 x y) d x  ( x 2  2 x y) d y  0

59. (3 y 2  2 x y) d x  (2 x y  x 2 ) d y  0
60. ( x 2  2 x y  4 y 2 ) d x  ( x 2  8 x y  4 y 2 ) d y  0
61. ( x  y) (4 x  y) d x  x (5 x  y) d...