Ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones en derivadasparciales: aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario,si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida
Definición  [ Orden de una ecuación diferencial] |
  | El orden de unaecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. |
 
De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente

cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.
 
  |  Definición  [Ecuación Diferencial lineal] |
  | Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal  si se puedeescribir de la forma | (1.5) |

donde los coeficientes para son funciones reales, con . Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.  |

 
Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones son constantes para toda , en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la funciónes nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.
 
Condiciones De Linealidad
Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n-1). Esto significa que unaecuación es lineal si se puede escribir en la forma
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
en esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo termino donde aparece y es 1.
 Cada coeficiente solo dependede x, que es la variable independiente.
Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales
* TIPO
Ordinarias y parciales
Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primercaso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
1.-
2.-
* ORDEN.
El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que apareceen la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex
dx2 dx
es una ecuación diferencial de segundo orden.
*

* GRADO.
Es la potencia a la que esta elevada la...