Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales
Definición : Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que involucre una función desconocida y alguna de sus derivadas.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en :
Ordinarias : cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable.
Parciales : cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de una variable.
Otra clasificación:
Por elorden: el orden de una ecuación diferencial , es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
Solución de una ecuación diferencial
Una función [pic]
, se dice que es una solución de una ecuación diferencial, si al sustituir “[pic]
”, y las derivadasinvolucradas en la ecuación diferencial, esta se satisface para todos los valores de x.
Para hallar esa función muchas veces el problema se reduce a resolver antiderivadas o integrales indefinidas.
Resolver una ecuación diferencial significa hallar todas sus soluciones.
Definición : Sea f una función definida en el intervalo cerrado [pic]
y si existe el [pic]
y es único para cualquier subdivisión delintervalo [pic]
en “n” subintervalos de la forma [pic]
con amplitud [pic]
y para cualquier elección de [pic]
tal que [pic]
siendo

 
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneases necesario definir lo que es una función homogénea.
 
|  | Definición  [Funciones homogéneas] |
|  |Una función [pic]se dice homogénea de grado [pic]si |
| |[pic]|
| | |
| | |
| |para todo [pic]y todo [pic]. |

 
Ejemplo
1. La función [pic]eshomogéénea de grado [pic].
2. Las funciones [pic], [pic], [pic]son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones [pic], [pic], [pic]son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
 
|  | Definición [Ecuación diferencial homogénea] |
|  | Una ecuación diferencial ordinaria de primerorden, [pic], es homogénea si la función [pic]es homogénea de |
| |orden cero. |

 
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

[pic]

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes [pic]y [pic]son funciones homogéneos del mismo grado.
 
|  | Teorema|
|  |Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden |
| |[pic] |
| |es homogénea, entonces el cambio de variable [pic]la reduce a una ecuacióndiferencial en variables |
| |separadas. |
| |  |

 
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos

[pic]

Pero como [pic]es una función homogénea de grado cero tenemos que...